Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và đường tròn.

Hoc Lop

Administrator
Staff member
#1
Phương pháp thực hiện
1. Để xét vị trí tương đối của điểm với đường tròn, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1
: Xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là P$_{M/(C)}$.
Bước 2: Kết luận:
  • Nếu P$_{M/(C)}$ < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn.
  • Nếu P$_{M/(C)}$ = 0 ⇔ M nằm trên đường tròn.
  • Nếu P$_{M/(C)}$ > 0 ⇔ M nằm ngoài đường tròn.
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
  • Nếu M nằm trong (C) ⇒ không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
  • Nếu M nằm trên (C) ⇒ tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua M (phương trình tiếp tuyến có được bằng phương pháp phân đôi toạ độ).
  • Nếu M nằm ngoài (C) ⇒ tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M.
2. Để xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1:
Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đường tròn, ta được:
  • Nếu h > R ⇔ (d)∩(C) = {Ø}.
  • Nếu h = R ⇔ (d) tiếp xúc với (C).
  • Nếu h < R ⇔ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (d) và (C).

3. Để xét vị trí tương đối của hai đường tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1:
Tính khoảng cách I$_1$I$_2$ (I$_1$, I$_2$ là hai tâm của hai đường tròn), rồi so sánh với tổng và hiệu hai bán kính R$_1$, R$_2$ của hai đường tròn, ta được:
  • Nếu I$_1$I$_2$ > R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
  • Nếu I$_1$I$_2$ < |R$_1$ - R$_2$| ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) không cắt nhau và nồng nhau.
  • Nếu I$_1$I$_2$ = R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) tiếp xúc ngoài với nhau.
  • Nếu I$_1$I$_2$ = |R$_1$ - R$_2$| ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) tiếp xúc trong với nhau.
  • Nếu |R$_1$ - R$_2$| < I$_1$I$_2$ < R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Phương pháp này thường được sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C$_1$) và (C$_2$).

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C$_1$) và (C$_2$), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C$_1$) và (C$_2$).
Nhận xét quan trọng:
1. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
  • Bài toán 1: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2a(m)x - 2b(m)x + c(m) = 0\\Ax + By + C = 0\end{array} \right.$.
  • Bài toán 2: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2a(m)x - 2b(m)x + c(m) \ge 0\\Ax + By + C \ge 0\end{array} \right.$.
2. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
  • Bài toán 1: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2{a_1}(m)x - 2{b_1}(m)x + {c_1}(m) = 0\\{x^2} + {y^2} - 2{a_2}(m)x - 2{b_2}(m)x + {c_2}(m) = 0\end{array} \right.$
  • Bài toán 2: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2{a_1}(m)x - 2{b_1}(m)x + {c_1}(m) \le 0\\{x^2} + {y^2} - 2{a_2}(m)x - 2{b_2}(m)x + {c_2}(m) \le 0\end{array} \right.$

Thí dụ 1. Cho điểm M(6; 2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 2y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
a. AB = $\sqrt 2 $.
b. AB = 2.
Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 1.
a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, ta có:
Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và đường tròn.png
IH$^2$ = IA$^2$ - AH$^2$ = R$^2$ - $\frac{{A{B^2}}}{4}$ = 1 - $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ IH = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Đường thẳng (d) đi qua M có dạng ( d ): A(x - 6) + B(y - 2) = 0⇔ (d): Ax + By - 6A - 2B = 0.
Đường thẳng (d) thoả mãn điều kiện đầu bài khi và chỉ khi: d(I, (d)) = IH ⇔ $\frac{{|A + B - 6A - 2B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ⇔ 50A$^2$ + 10AB + B$^2$ = 0. (1)
Giải phương trình (1) bằng cách đặt t = \(\frac{A}{B}\) ta tìm được mối liên hệ giữa A và B. Từ đó, thấy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Vì (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho: AB = 2 = 2R
⇔ (d2): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,M(6;\,2)\\qua\,tam\,I(1;\,1)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - 1}}{{6 - 1}}$ = $\frac{{y - 1}}{{2 - 1}}$ ⇔ (d): x - 5y + 4 = 0.

Thí dụ 2. Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình: (d): x + y - 1 = 0 và (C): x$^2$ + y$^2$ - 1 = 0.
a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x - y - 2 = 0.
a. Đường tròn (C) có tâm O(0, 0) và bán kính R = 1.
Ta có: d(O, (d)) = $\frac{{| - 1|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ < R
Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

b. Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (d) và (C), có dạng (S): x$^2$ + y$^2$ - 1 + m(x + y - 1) = 0 ⇔ (S): x$^2$ + y$^2$ + mx + my - 1 - m = 0 (1)
suy ra tâm I(-$\frac{m}{2}$, -$\frac{m}{2}$). (S) tiếp xúc với (Δ)
⇔ d(I, (Δ)) = R ⇔ $\frac{{|2( - \frac{m}{2}) + \frac{m}{2} - 2|}}{{\sqrt {4 + 1} }}$ = $\sqrt {\frac{{{m^2}}}{2} + m + 1} $ ⇔ m = -$\frac{2}{3}$.
Thay m = -$\frac{2}{3}$ vào (1) ta được (S): x2 + y2 - $\frac{2}{3}$x - $\frac{2}{3}$y - $\frac{1}{3}$ = 0.

Thí dụ 3. Cho hai đường tròn
(C$_1$): x$^2$ + y$^2$ - 2x + 4y - 4 = 0,
(C$_2$): x$^2$ + y$^2$ + 2x - 2y - 14 = 0.
a. Chứng minh rằng hai đường tròn (C$_1$) và (C$_2$) cắt nhau.
b. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C$_1$), (C$_2$) và qua điểm M(3, 0).
a. Ta có :
  • Đường tròn (C$_1$) có tâm I$_1$(1, -2) và bán kính R$_1$ = 3.
  • Đường tròn (C$_2$) có tâm I$_2$( - 1, 1) và bán kính R$_2$ = 4.
Ta có:
I$_1$I$_2$ = $\sqrt {{{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2}} $ = $\sqrt {13} $,
|R$_1$ - R$_2$| = 0 < I$_1$I$_2$ < 2 = R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$)∩(C$_2$) = {A, B}.

b. Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (C$_1$) và (C$_2$), có dạng: (S): λ(x$^2$ + y$^2$ + 2x - 2y - 14) + μ(x$^2$ + y$^2$ - 2x + 4y - 4) = 0
⇔ (S): (λ + μ)x$^2$ + (λ + μ)y$^2$ - 2(μ - λ)x - 2(λ - 2μ)y - 14λ - 4μ = 0 (1)
Điểm M(3, 0)∈(S) : 9(λ + μ) - 3(μ - λ) - 14λ - 4μ = 0 ⇔ λ = μ
Thay λ = μ vào (1) ta được (S): x$^2$ + y$^2$ + y - 9 = 0.

Thí dụ 4. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - x = 0\\x + ay - a = 0\end{array} \right.$
a. Tìm a để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b. Gọi (x$_1$, y$_1$), (x$_2$, y$_2$) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng (x$_2$ - x$_1$)$^2$+ (y$_2$ - y$_1$)$^2$≤ 1.
Viết lại hệ dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{(x - \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}\,\,\,\,(1)\\x + ay - a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$
  • Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm I($\frac{1}{2}$, 0), bán kính R = $\frac{1}{2}$.
  • Phương trình (2) là đường thằng (d).
a. Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ d(I, d) < R ⇔ $\frac{{\left| {\frac{1}{2} - a} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$ < $\frac{1}{2}$ ⇔ 0 < a < $\frac{4}{3}$.

b. Với 0 < a < $\frac{4}{3}$, (d)∩(C) = {A, B} có toạ độ là A(x$_1$, y$_1$), B(x$_2$, y$_2$).
Ta có: AB ≤ 2R ⇔AB$^2$ ≤ 4R$^2$ ⇔ (x$_2$ - x$_1$)$^2$+ (y$_2$ - y$_1$)$^2$≤ 1, đpcm.