Dạng 3: Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho trước

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng: $\overrightarrow {OM} $ = $\vec v$, trong đó điểm O cố định và vectơ $\vec v$ đã biết.

Thí dụ 1: Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn tâm O.
a. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $.
b. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
$\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} $; $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $; $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} $.
a. Vì ΔABC đều nên O chính là trọng tâm ΔABC, do đó ta có ngay:
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $.
b. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.
đẳng thức vectơ_3.png
  • Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm M đối xứng với O qua C1, ta có được $\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} $.
  • Các điểm N, P được xác định tương tự.
Thí dụ 2: Cho ΔABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
$\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\vec 0$. (*)
Biến đổi (*) về dạng:
$\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\vec 0$ ⇔ $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {AB} $⇔ ABCM là hình bình hành.
Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện:
đẳng thức vectơ_3_2.png
  • Kẻ Ax // BC.
  • Kẻ Cy // AB.
  • Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm.
Thí dụ 3: Cho ΔABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O.
a. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
$\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $, $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $, $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OA} $.
b. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow 0 $.
a. Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lượt có:
đẳng thức vectơ_3_3.png
  • Với điểm M thoả mãn: $\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $
⇒ M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AOBM
⇒ CM là đường kính của (O), vì ΔABC đều.
  • Với điểm N thoả mãn: $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ ⇒ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BOCN⇒ AN là đường kính của (O), vì ΔABC đều.
Với điểm P thoả mãn: $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OA} $ ⇒ P là đỉnh thứ tư của hình bình hành AOCP
⇒ BP là đường kính của (O), vì ΔABC đều.
Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các đường kính của đường tròn (O).

b. Dựa vào kết quả câu a) và $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow {MO} $, ta có ngay:
$\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow {OM} $ + $\overrightarrow {MO} $ = $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {MM} $ = $\overrightarrow 0 $.

Thí dụ 4: Cho ΔABC.
a. Tìm điểm I sao cho $\overrightarrow {IA} $ + 2$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$.
b. Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow {KA} $ + 2$\overrightarrow {KB} $ = $\overrightarrow {CB} $.
c. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = $\vec 0$.
a. Ta biến đổi: $\vec 0$ = $\overrightarrow {IA} $ + 2$(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} )$ = 3$\overrightarrow {IA} $ + 2$\overrightarrow {AB} $
⇔ $\overrightarrow {IA} $ = - $\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} $, suy ra điểm I được hoàn toàn xác định.

b. Ta biến đổi: $\vec 0$ = $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + ($\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {BC} $) = $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {KC} $⇔ K là trọng tâm ΔABC.

c. Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:
$\vec 0$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $) + ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $) = 2$\overrightarrow {ME} $ + 2$\overrightarrow {MF} $ = 4$\overrightarrow {MN} $ ⇔ M ≡ N.

Thí dụ 5: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực α, β thoả mãn α + β ≠ 0.
a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$.
b. Từ đó, suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:
α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ = (α + β)$\overrightarrow {MI} $.
a. Ta có:
α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$ ⇔ α$\overrightarrow {IA} $ + β($\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {AB} $) = $\vec 0$ ⇔ (α + β)$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {AB} $ = $\vec 0$
⇔ (α + β)$\overrightarrow {AI} $ = β$\overrightarrow {AB} $⇔$\overrightarrow {AI} $ = $\frac{\beta }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $.
Vì A, B cố định nên vectơ $\frac{\beta }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta có:
α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $) + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $) = (α + β)$\overrightarrow {MI} $ + (α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $)
= (α + β)$\overrightarrow {MI} $, đpcm.
Nhận xét quan trọng:
1. Nếu α = β = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB
.
2. Bài toán trên được mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực α, β, γ cho trước thoả mãn α + β + γ ≠ 0, tức là:
a. Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn: α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = $\vec 0$.​
b. Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = (α + β + γ)$\overrightarrow {MI} $.​
và khi α = β = γ = 1 thì I là trọng tâm ΔABC.​
3. Việc mở rộng cho n điểm A$_i$, i = $\overline {1,n} $ và bộ n số thực αi, i = $\overline {1,n} $ thoả mãn $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0, xin dành cho bạn đọc.
4. Kết quả trên được sử dụng để giải bài toán:
“ Cho n điểm A$_i$, i = $\overline {1,n} $ và bộ n số thực αi, $\overline {1,n} $ thoả mãn $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0. Tìm số thực k và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = k$\overrightarrow {MI} $, (1)
thoả mãn với mọi điểm M. ”
Phương pháp giải
Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:
$\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {I{A_i}} } $ = k$\overrightarrow {II} $ = $\vec 0$. (2)
  • Xác định được điểm I từ (2).
  • Từ (2), suy ra: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $$\overrightarrow {MI} $. (3)
Từ (1) và (3), suy ra: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $$\overrightarrow {MI} $ = k$\overrightarrow {MI} $ ⇔ k = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.

Thí dụ 6: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M.
a. 2$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = k$\overrightarrow {MI} $.
b. $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = k$\overrightarrow {MJ} $.
c. $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + 3$\overrightarrow {MD} $ = k$\overrightarrow {MK} $.
a. Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:
2$\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {IB} $ = k$\overrightarrow {II} $ = $\vec 0$. (1.1)
  • Từ (1.1), ta được: 2$\overrightarrow {IA} $ + ($\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {AB} $) = $\vec 0$ ⇔ $\overrightarrow {IA} $ = -$\frac{1}{3}$$\overrightarrow {AB} $ ⇒ xác định được điểm I.
  • Từ (1.1), ta được: 2$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = (2 + 1)$\overrightarrow {MI} $ = 3$\overrightarrow {MI} $. (1.2)
  • Từ (1) và (1.2), suy ra: 3$\overrightarrow {MI} $ = k$\overrightarrow {MI} $ ⇔ k = 3.
b. Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ J, khi đó:
$\overrightarrow {JA} $ + $\overrightarrow {JB} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = k$\overrightarrow {JJ} $ = $\vec 0$. (2.1)
  • Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta được: 2$\overrightarrow {JE} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = $\vec 0$ ⇔ J là trung điểm của CE.
  • Từ (2.1), ta được: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = (1 + 1 + 2)$\overrightarrow {MJ} $ = 4$\overrightarrow {MJ} $ (2.2)
  • Từ (2) và (2.2), suy ra: 4$\overrightarrow {MJ} $ = k$\overrightarrow {MJ} $ ⇔ k = 4.
c. Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ K, khi đó: $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {KC} $ + 3$\overrightarrow {KD} $ = k$\overrightarrow {KK} $ = $\vec 0$. (3.1)
  • Gọi G là trọng tâm ΔABC, từ (3.1), ta được: 3$\overrightarrow {KG} $ + 3$\overrightarrow {KD} $ = $\vec 0$ ⇔ K là trung điểm của GD.
  • Từ (3.1), ta được: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + 3$\overrightarrow {MD} $ = 6$\overrightarrow {MK} $. (3.2)
  • Từ (3) và (3.2), suy ra: 6$\overrightarrow {MK} $ = k$\overrightarrow {MK} $ ⇔ k = 6.
Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể được mở rộng thành bài toán tìm tập hợp điểm (quĩ tích). Với các bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:
1. Nếu |$\overrightarrow {MA} $| = |$\overrightarrow {MB} $|, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
2. |$\overrightarrow {MC} $| = k|$\overrightarrow {AB} $|, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.
3. Nếu $\overrightarrow {MA} $ = k$\overrightarrow {BC} $, với A, B, C cho trước thì
  • a. Với k ∈ \(\mathbb{R}\) điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.
  • b. Với k ∈ \(\mathbb{R}\)+ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng $\overrightarrow {BC} $.
  • c. Với k ∈ \(\mathbb{R}\)- điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng $\overrightarrow {BC} $.
Thí dụ 7: Cho ΔABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. $\overrightarrow {MA} $ + k$\overrightarrow {MB} $ - k$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow 0 $. (1)
b. (1 - k)$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ - k$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow 0 $. (2)
a. Ta biến đổi (1) về dạng: $\overrightarrow {MA} $ = k($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) ⇔ $\overrightarrow {MA} $ = k$\overrightarrow {BC} $
⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

b. Ta biến đổi (2) về dạng: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ - k($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $) = $\overrightarrow 0 $. (3)
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:
(3) ⇔ 2$\overrightarrow {ME} $ - 2k$\overrightarrow {MF} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ $\overrightarrow {ME} $ = k$\overrightarrow {MF} $
⇔ M thuộc đường trung bình EF của ΔABC.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác