Dạng 4: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta lựa chọn một trong hai hướng:
  • Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc.
  • Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc.

Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2$\overrightarrow {IA} $ + 3$\overrightarrow {IB} $ = $\overrightarrow 0 $.
a. Tìm số k sao cho $\overrightarrow {AI} $ = k$\overrightarrow {AB} $.
b. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MI} $ = $\frac{2}{5}$$\overrightarrow {MA} $ + $\frac{3}{5}$$\overrightarrow {MB} $.
a. Biến đổi giả thiết:
$\overrightarrow 0 $ = 2$\overrightarrow {IA} $ + 3$\overrightarrow {IB} $ = 5$\overrightarrow {IA} $ + 3($\overrightarrow {IB} $ - $\overrightarrow {IA} $) = -5$\overrightarrow {AI} $ + 3$\overrightarrow {AB} $ ⇔ $\overrightarrow {AI} $ = $\frac{3}{5}$$\overrightarrow {AB} $.
Vậy, với k = $\frac{3}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Biến đổi giả thiết:
$\overrightarrow 0 $ = 2$\overrightarrow {IA} $ + 3$\overrightarrow {IB} $ = 2($\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MI} $) + 3($\overrightarrow {MB} $ - $\overrightarrow {MI} $)
⇔ 5$\overrightarrow {MI} $ = 2$\overrightarrow {MA} $ + 3$\overrightarrow {MB} $ ⇔ $\overrightarrow {MI} $ = $\frac{2}{5}$$\overrightarrow {MA} $ + $\frac{3}{5}$$\overrightarrow {MB} $, đpcm.

Thí dụ 2: Cho ΔOAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:
$\overrightarrow {OM} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $; $\overrightarrow {MN} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $;
$\overrightarrow {AN} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $; $\overrightarrow {MB} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $;
a. Ta có ngay
tổ hợp vectơ 1.png
$\overrightarrow {OM} $ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow {OA} $
do đó đẳng thức $\overrightarrow {OM} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $ sẽ có m = $\frac{1}{2}$ và n = 0.

b. Ta có:
$\overrightarrow {MN} $ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow {AB} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OA} $) = -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow {OA} $ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow {OB} $
do đó đẳng thức $\overrightarrow {MN} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $ sẽ có m = -$\frac{1}{2}$ và n = $\frac{1}{2}$.

c. Ta có:
$\overrightarrow {AN} $ = $\overrightarrow {AO} $ + $\overrightarrow {ON} $ = -$\overrightarrow {OA} $ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow {OB} $
do đó đẳng thức $\overrightarrow {AN} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $ sẽ có m = -1 và n = $\frac{1}{2}$.

d. Ta có:
$\overrightarrow {MB} $ = $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $ = -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $
do đó đẳng thức $\overrightarrow {MB} $ = m$\overrightarrow {OA} $ + n$\overrightarrow {OB} $ sẽ có m = -$\frac{1}{2}$ và n = 1.

Thí dụ 3: Gọi G là trọng tâm ΔABC. Đặt $\overrightarrow a $ = $\overrightarrow {GA} $ và $\overrightarrow b $ = $\overrightarrow {GB} $. Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {GC} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CA} $ qua các vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.
a. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc, ta có ngay:
$\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {GB} $ - $\overrightarrow {GA} $ = $\overrightarrow b $ - $\overrightarrow a $.

b. Vì G là trọng tâm ΔABC nên:
$\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ $\overrightarrow {GC} $ = -$\overrightarrow {GA} $ - $\overrightarrow {GB} $ = -$\overrightarrow a $ - $\overrightarrow b $.

c. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:
$\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {GC} $ - $\overrightarrow {GB} $ = -$\overrightarrow a $ - $\overrightarrow b $ - $\overrightarrow b $ = -$\overrightarrow a $ - 2$\overrightarrow b $.

d. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:
$\overrightarrow {CA} $ = $\overrightarrow {GA} $ - $\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow a $ - (-$\overrightarrow a $ - $\overrightarrow b $) = 2$\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $.

Thí dụ 4: Cho ΔABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CA} $ theo các vectơ $\overrightarrow {BN} $ và $\overrightarrow {CP} $.
Ta lần lượt có:
tổ hợp vectơ 4.png
$\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} $ = $3\overrightarrow {GM} + (\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )$ = $2\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GB} $
= 2$\frac{1}{2}(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + \overrightarrow {GB} $ = $2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} $ = $ - 2.\frac{2}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $
= $ - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $.
$\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GB} $ = $ - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} $.
Vectơ $\overrightarrow {CA} $ được biểu diễn tương tự $\overrightarrow {AB} $.

Thí dụ 5: Cho ΔABC.
a. Tìm các điểm M và N sao cho:
$\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow 0 $, 2$\overrightarrow {NA} $ + $\overrightarrow {NB} $ + $\overrightarrow {NC} $ = $\overrightarrow 0 $.
b. Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho:
$\overrightarrow {MN} $ = p$\overrightarrow {AB} $ + q$\overrightarrow {AC} $.
a. Ta lần lượt thực hiện:
$\overrightarrow 0 $ = $\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {MC} $ = -$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {MC} $ ⇔ $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {AB} $
⇔ M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
$\overrightarrow 0 $ = 2$\overrightarrow {NA} $ + $\overrightarrow {NB} $ + $\overrightarrow {NC} $ = 2$\overrightarrow {NA} $ + 2$\overrightarrow {NE} $, với E là trung điểm BC
⇔ $\overrightarrow {NA} $ + $\overrightarrow {NE} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ N là trung điểm của AE.

b. Ta có biểu diễn:
$\overrightarrow {MN} $ = $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {AN} $ = $\overrightarrow {CB} $ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow {AE} $
= ($\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {AC} $) + $\frac{1}{4}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $) = $\frac{5}{4}$$\overrightarrow {AB} $ - $\frac{3}{4}$$\overrightarrow {AC} $.

Thí dụ 6: Cho ΔABC trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a. Tính $\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AJ} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $.
b. Tính $\overrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow {AI} $ và $\overrightarrow {AJ} $
a. Ta có:
tổ hợp vectơ 6.png
$\left\{ \begin{array}{l}2CI = 3BI\\\overrightarrow {IC} \uparrow \downarrow \overrightarrow {IB} \end{array} \right.$ ⇔ 2$\overrightarrow {IC} $ = - 3$\overrightarrow {IB} $
⇔ 2($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AI} $) = - 3($\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {AI} $) ⇔ 5$\overrightarrow {AI} $ = 3$\overrightarrow {AB} $ + 2$\overrightarrow {AC} $
⇔ $\overrightarrow {AI} $ = $\frac{3}{5}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{2}{5}$$\overrightarrow {AC} $. (1)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}5JB = 2JCI\\\overrightarrow {JB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {JC} \end{array} \right.$ ⇔ 5$\overrightarrow {JB} $ = 2$\overrightarrow {JC} $ ⇔ 5($\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {AJ} $) = 2($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AJ} $)
⇔ 3$\overrightarrow {AJ} $ = 5$\overrightarrow {AB} $ - 2$\overrightarrow {AC} $ ⇔ $\overrightarrow {AJ} $ = $\frac{5}{3}$$\overrightarrow {AB} $ - $\frac{2}{3}$$\overrightarrow {AC} $. (2)

b. Gọi M là trung điểm BC, ta có:
$\overrightarrow {AG} $ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow {AM} $ = $\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $) = $\frac{1}{3}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $). (3)
Mặt khác từ hệ tạo bởi (1) và (2), ta nhận được:
$\overrightarrow {AB} $ = $\frac{5}{8}$$\overrightarrow {AI} $ + $\frac{3}{8}$$\overrightarrow {AJ} $ và $\overrightarrow {AC} $ = $\frac{{25}}{{16}}$$\overrightarrow {AI} $ - $\frac{9}{{16}}$$\overrightarrow {AJ} $. (4)
Thay (4) vào (3) ta nhận được:
$\overrightarrow {AG} $ = $\frac{{35}}{{48}}$$\overrightarrow {AI} $ - $\frac{1}{{16}}$$\overrightarrow {AJ} $.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác