Dạng 4: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Để giải và biện luận hệ đẳng cấp bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$
ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình: Ax$^2$ + Bxy + Cy$^2$ = 0. (3)
  • Bước 2: Đặt x = ty, khi đó: (3) <=> y$^2$[At$^2$ + Bt + C] = 0.
Xét y = 0 thay vào hệ.​
Xét At$^2$ + Bt + C = 0, nếu có nghiệm t0 thì thế x = t$_0$y vào hệ để xét hệ với một ẩn y.​
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Từ hệ khử số hạng x$^2$ (hoặc y$^2$) để dẫn tới phương trình khuyết x$^2$ (hoặc y$^2%), giả sử: Dx$^2$ + Exy + F = 0 => y = -$\frac{{D{x^2} + F}}{{Ex}}$. (4)
  • Bước 2: Thế (4) vào một phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x.
* Chú ý: Với bài toán chứa tham số ta thường lựa chọn cách 2.

Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + xy + 2{y^2} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được: x$^2$ + 9xy-22y$^2$ = 0 (3)
Đặt x = ty, khi đó: (3) <=> y$^2$(t$^2$ + 9t-22) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}y = 0\\t = 2\\t = - 11\end{array} \right.$.
Ta lần lượt:
  • Với y = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = 15\\{x^2} = 8\end{array} \right.$ vô nghiệm..
  • Với t = 2 ta được x = 2y, (2) <=> y$^2$ = 1 <=> $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
  • Với t = -11 ta được x = -11y, (2) <=> y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ <=> $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.

Cách 2: Nhận xét rằng: nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì y ≠ 0.
Khử số hạng x$^2$ từ hệ ta được: xy-3y$^2$ = -1 <=> x = $\frac{{3{y^2} - 1}}{y}$ (4)
Thay (4) vào (2), ta được: 14y$^4$-15y$^2$ + 1 = 0. (5)
Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: (5) <=> 14t$^2$-15t + 1 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1/14\end{array} \right.$.
  • Với t = 1, ta được: y$^2$ = 1 <=> $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
  • Với t = $\frac{1}{{14}}$, ta được: y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$<=> $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.

Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\2{x^2} + 4xy - 2{y^2} = m\end{array} \right.$.
a. Giải hệ với m = 14.
b. Tìm m để hệ có nghiệm.
Nhận xét rằng nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì x ≠ 0 (nếu trái lại (*) mâu thuẫn). Từ (*) suy ra: y = $\frac{{{x^2} - 2}}{x}$. (**)
Thay (**) vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2x$^2$ + 4(x$^2$ - 2) - $\frac{{2{{({x^2} - 2)}^2}}}{{{x^2}}}$ = m <=> 4x$^4$ - mx$^2$ - 8 = 0.
Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: f(t) = 4t$^2$ - mt - 8 = 0 (1)
a. Với m = 14 thì hệ có nghiệm (2; 1) và (-2; -1).

b. Để hệ có nghiệm thì (1) phải có ít nhất một nghiệm không âm, điều này luôn đúng bởi ac = -32 < 0.
Vậy, hệ có nghiệm với mọi m.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao