Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) (tâm I(a, b) bán kính R) thoả mãn điều kiện K.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = 0.
  • Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R.
  • Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d).
Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M(x$_0$, y$_0$)∈(C) (tức là P$_{M/(C)}$ = 0), ta có ngay:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,M({x_0},{y_0})\\vtpt\,\overrightarrow {IM} ({x_0} - a,{y_0} - b)\end{array} \right.$
⇔ (d): (x$_0$ - a)(x - x$_0$) + (y$_0$ - b)(y - y$_0$) = 0
⇔ (d): (x$_0$ - a)(x - a) + (y$_0$ - b)(y - b) = R$^2$ - Phân đôi toạ độ.

b. Nếu M(x$_0$, y$_0$) ∉ (C) (tức là P$_{M/(C)}$ ≠ 0), ta giả sử: (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = 0 ⇔ (d): Ax + By - Ax$_0$ - By$_0$ = 0

2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Ax + By + D = 0.

3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Bx - Ay + D = 0.

4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó: (d): y = kx + m ⇔ (d): kx - y + m = 0.

5. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (Δ) một góc α, khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức:
cosα = $\frac{{|\vec a.\vec b|}}{{|\vec a|.|\vec b|}}$, với $\vec a$, $\vec b$ theo thứ tự là vtcp của (d), (Δ).
tgα = $\left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|$, với k1, k2 theo thứ tự là hsg của (d), (Δ)

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải.
Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử điểm M(x$_0$, y$_0$) là tiếp điểm, khi đó:
Phương trình tiếp tuyến có dạng: x.x$_0$ + y.y$_0$ - a(x + x$_0$) - b(y + y$_0$) + c = 0. (1)
(hoặc (x - a) (x$_0$ - a) + (y - b)(y$_0$ - b) = R2 ).
Điểm M∈(C) ⇔ $x_0^2 + y_0^2$ - 2ax$_0$ - 2by$_0$ + c = 0 (2)
(hoặc (x$_0$ - a)$^2$ + (y$_0$ - b)$^2$ = R$^2$

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình theo x$_0$, y$_0$ (3)

Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M(x$_0$, y$_0$), từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Thí dụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua M, biết:
a. (C): (x - 3)$^2$ + (y - 1)$^2$ = 5 và M(2, 3).
b. (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 8y - 8 = 0 và M(-4, -6).
a. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$ = 0 ⇔ M ∈ (C).
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M có dạng: (d): (x - 3)(2 - 3) + (y - 1)(3 - 1) = 9 ⇔ (d): x - 2y + 8 = 0.

b. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$>0 ⇔ M ở ngoài (C).
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(1, 4), bán kính R = 5. Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình: (d): A(x + 4) + B(y + 6) = 0 ⇔ (d): Ax + By + 4A + 6B = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $\frac{{|A + 4B + 4A + 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ = 5
⇔ |A + 2B| = $\sqrt {{A^2} + {B^2}} $⇔ 3B2 + 4AB = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}B = 0\\B = - 4A/3\end{array} \right.$.
  • Với B = 0, ta được tiếp tuyến (d$_1$): A(x + 4) = 0 ⇔ (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với B = -$\frac{{4A}}{3}$, ta được tiếp tuyến (d$_2$): A(x + 4) - $\frac{{4A}}{3}$(y + 6) = 0 ⇔ (d$_2$): 3x - 4y - 12 = 0.
Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ - (x + x$_0$) - 4(y + y$_0$) - 8 = 0. (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C) nên: \(x_0^2 + y_0^2\) - 2x$_0$ - 8y$_0$ - 8 = 0. (2)
Điểm A( - 4, - 6)∈(d) ⇔ - 4x$_0$ - 6y$_0$ - ( - 4 + x$_0$) - 4( - 6 + y$_0$) - 8 = 0⇔ x$_0$ + 2y$_0$ - 4 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 4\,\,\& \,\,{y_0} = 4\\{x_0} = 4\,\,\& \,\,{y_0} = 0\end{array} \right.$.
  • Với M1( - 4, 4), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với M2(4, 0), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 3x - 4y - 12 = 0.
Chú ý: Như vậy nếu sử dụng cách 2 ta có thể trả lời được các hỏi:
  • a. Qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).
  • b. Toạ độ các tiếp điểm là M1( - 4, 4), M2(4, 0).
c. Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm được suy ra từ (3), tức là: (M1M2): x + 2y - 4 = 0.

Thí dụ 2. Cho đường thẳng (Δ) và đường tròn (C) có phương trình: (Δ): 3x - 4y + 12 = 0. (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 6y + 9 = 0.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với (Δ).
Đường tròn (C) có tâm I(1, 3), bán kính R = 1.
Ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Tiếp tuyến (d)⊥(Δ) có phương trình: (d) : 4x + 3y + c = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $\frac{{|4.1 + 3.3 + c|}}{{\sqrt {16 + 9} }}$ = 1 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{c_1} = - 18\\{c_2} = - 8\end{array} \right.$.
  • Với c1 = -18, ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y - 18 = 0.
  • Với c2 = - 8, ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y - 8 = 0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ - (x + x$_0$) - 3(y + y$_0$) + 9 = 0
⇔ (d): (x$_0$ - 1)x + (y$_0$ - 3)y - x$_0$ - 3y$_0$ + 9 = 0 (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C)⇔ $x_0^2 + y_0^2$ - 2x$_0$ - 6y$_0$ + 9 = 0. (2)
Đường thẳng (d)⊥(Δ) khi và chỉ khi: 3.(x$_0$ - 1) - 4(y$_0$ - 3) = 0 ⇔ 3x$_0$ - 4y$_0$ + 9 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{9}{5}\,\,\& \,\,{y_0} = \frac{{18}}{5}\\{x_0} = \frac{1}{5}\,\,\& \,\,{y_0} = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.$.
  • Với M1($\frac{9}{5}$, $\frac{{18}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y - 18 = 0.
  • Với M2($\frac{1}{5}$, $\frac{{12}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y - 8 = 0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.
 
Sửa lần cuối: