Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ ) thì năng lượng:
\(\cdot \ Khi\ A\leq \Delta \ell \Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T\\ \Delta t_{dan} = T\\ \Delta t_{nen} = 0 \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ Khi\ A > \Delta \ell \Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{2,4cm} \\ \Delta t_{nen} = 2.\frac{T}{2 \pi } \cos ^{-1}\left ( \frac{\Delta \ell}{A} \right )\\ \Delta t_{dan} = T - \Delta t_{nen} \hspace{0,9cm} \end{matrix}\right.\)
Các trường hợp đặc biệt: Con lắc lò xo treo thẳng đứng
Tổng quát: \(A > \Delta \ell\) \(\left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{2,4cm} \\ \Delta t_{nen} = 2.\frac{T}{2 \pi } \cos ^{-1}\left ( \frac{\Delta \ell}{A} \right )\\ \Delta t_{dan} = T - \Delta t_{nen} \hspace{0,9cm} \end{matrix}\right.\)
Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có k = 100 N/m; m = 100g. Từ VTCB truyền cho vật vận tốc \(20 \pi\) cm/s để vật dao động điều hòa.
a/ Tìm W?
b/ Tìm $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ khi x = 1 cm?
c/ Tìm thời gian lò xo nén dãn trong 1 chu kỳ?
\(v_{max} = 20 \pi \ cm/s = 0,2 \pi \ m/s\)
a/ \(W = \frac{1}{2}mv_{max}^{2} = \frac{1}{2}.0,1.(0,2 \pi)^2 =0,02 \ J\)
b/ \(\cdot \ x = 1\ cm \Rightarrow W_t = \frac{1}{2}kx^2\)
\(\Rightarrow W_t = \frac{1}{2}.100(1.10^{-2})^2 = 5.10^{-3}\)
⇒ $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ \(=\frac{W - W_t}{W_t} = \frac{W}{W_t} - 1 = 3\)
\(\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \pi \Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega } = 2 \ (cm)\)
⇒ $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ \(= \left ( \frac{A}{x} \right )^2 - 1 = 3\)
c/ \(\Delta \ell = \frac{mg}{k} = \frac{0,1.10}{100} = 0,01\ m = 1\ cm\)
\(\Rightarrow \Delta \ell = \frac{A}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta t_{nen} = \frac{T}{3} = \frac{1}{15}(s)\\ \Delta t_{dan} = \frac{2T}{3} = \frac{2}{15}(s) \end{matrix}\right.\)
Câu 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm k = 20 N/m; m = 50g. Trong 1 chu kỳ thời gian lò xo giãn gấp 2 lần thời gian lò xo nén. Tìm W?
\(\Rightarrow \Delta t_{nen} = \frac{T}{3} \Rightarrow A = 2\Delta \ell\)
Ta có: \(\Delta \ell = \frac{mg}{k} = \frac{0,05.10}{20} = 0,025 \ m\)
\(\Rightarrow A = 2\Delta \ell = 0,05 \ m = 5.10^{-2} \ m\)
\(W = \frac{1}{2}k.A^2 = \frac{1}{2}20.(5-10^{-2})^2\)
\(\Rightarrow W = 25.10^{-3} \ J = 0,025 \ J\)
- Động năng con lắc lò xo W$_{đ}$ \(=\frac{1}{2}mv^2 = \underbrace{ \frac{1}{2}m\omega ^2A^2 }_{W}.\sin^2(\omega t + \varphi )\)
- Thế năng con lắc lò xo W$_{t}$ \(=\frac{1}{2}kx^2 = \underbrace{ \frac{1}{2}k A^2 }_{W}.\cos ^2(\omega t + \varphi )\)
- Cơ năng con lắc lò xo W = W$_{đ}$ + W$_{t}$ = \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\) (hằng số)
- Động năng cực đại W = W$_{đ max}$ = \(\frac{1}{2}mv_{max}^{2}\)
- Thế năng cực đại của con lắc lò xo W = W$_{t max}$ = \(\frac{1}{2}kA^2\)
Đối với con lắc lò xo thì W \(\notin\) m, W tỉ lệ với A$^{2}$
- TH: Con lắc lò xo nằm ngang thì \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{1,6cm}\\ \Delta t_{dan} = \Delta t_{nen} = \frac{T}{2} \end{matrix}\right.\)
- TH: Con lắc lò xo treo thẳng đứng
\(\cdot \ Khi\ A\leq \Delta \ell \Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T\\ \Delta t_{dan} = T\\ \Delta t_{nen} = 0 \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ Khi\ A > \Delta \ell \Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{2,4cm} \\ \Delta t_{nen} = 2.\frac{T}{2 \pi } \cos ^{-1}\left ( \frac{\Delta \ell}{A} \right )\\ \Delta t_{dan} = T - \Delta t_{nen} \hspace{0,9cm} \end{matrix}\right.\)
Các trường hợp đặc biệt: Con lắc lò xo treo thẳng đứng
- TH1: \(A = 2.\Delta \ell\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong\ 1T \hspace{1,8cm}\\ \Delta t_{nen} = \frac{T}{3} \hspace{1,8cm}\\ \Delta t_{dan} = T - \frac{T}{3} = \frac{2T}{3} \end{matrix}\right.\)
- TH2: \(A = \sqrt{2}.\Delta \ell\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{2cm} \\ \Delta t_{nen} = \frac{T}{4} \hspace{1,9cm} \\ \Delta t_{dan} = T - \frac{T}{4} = \frac{3T}{4} \end{matrix}\right.\)
- TH3: \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\Delta \ell\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Trong\ 1T \hspace{1,8cm} \\ \Delta t_{nen} = \frac{T}{6} \hspace{1,8cm}\\ \Delta t_{dan} = T - \frac{T}{6} = \frac{5T}{6} \end{matrix}\right.\)
Tổng quát: \(A > \Delta \ell\) \(\left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{2,4cm} \\ \Delta t_{nen} = 2.\frac{T}{2 \pi } \cos ^{-1}\left ( \frac{\Delta \ell}{A} \right )\\ \Delta t_{dan} = T - \Delta t_{nen} \hspace{0,9cm} \end{matrix}\right.\)
Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có k = 100 N/m; m = 100g. Từ VTCB truyền cho vật vận tốc \(20 \pi\) cm/s để vật dao động điều hòa.
a/ Tìm W?
b/ Tìm $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ khi x = 1 cm?
c/ Tìm thời gian lò xo nén dãn trong 1 chu kỳ?
Giải
m = 100g = 0,1kg\(v_{max} = 20 \pi \ cm/s = 0,2 \pi \ m/s\)
a/ \(W = \frac{1}{2}mv_{max}^{2} = \frac{1}{2}.0,1.(0,2 \pi)^2 =0,02 \ J\)
b/ \(\cdot \ x = 1\ cm \Rightarrow W_t = \frac{1}{2}kx^2\)
\(\Rightarrow W_t = \frac{1}{2}.100(1.10^{-2})^2 = 5.10^{-3}\)
⇒ $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ \(=\frac{W - W_t}{W_t} = \frac{W}{W_t} - 1 = 3\)
\(\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \pi \Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega } = 2 \ (cm)\)
⇒ $\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}}$ \(= \left ( \frac{A}{x} \right )^2 - 1 = 3\)
c/ \(\Delta \ell = \frac{mg}{k} = \frac{0,1.10}{100} = 0,01\ m = 1\ cm\)
\(\Rightarrow \Delta \ell = \frac{A}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta t_{nen} = \frac{T}{3} = \frac{1}{15}(s)\\ \Delta t_{dan} = \frac{2T}{3} = \frac{2}{15}(s) \end{matrix}\right.\)
Câu 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm k = 20 N/m; m = 50g. Trong 1 chu kỳ thời gian lò xo giãn gấp 2 lần thời gian lò xo nén. Tìm W?
Giải
\(\left\{\begin{matrix} \Delta t_{dan} = 2\Delta t_{nen} \ \ \ \ \ \ \\ \Delta t_{dan} + 2\Delta t_{nen} = T \end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \Delta t_{nen} = \frac{T}{3} \Rightarrow A = 2\Delta \ell\)
Ta có: \(\Delta \ell = \frac{mg}{k} = \frac{0,05.10}{20} = 0,025 \ m\)
\(\Rightarrow A = 2\Delta \ell = 0,05 \ m = 5.10^{-2} \ m\)
\(W = \frac{1}{2}k.A^2 = \frac{1}{2}20.(5-10^{-2})^2\)
\(\Rightarrow W = 25.10^{-3} \ J = 0,025 \ J\)