Dạng 4: Phương trình hồi quy

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Dạng 1: (Phương trình hồi quy)
: Để giải và biện luận phương trình: ax$^4$ + bx$^3$ + cx$^2$ + bx + a = 0 (1)
ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2≠0, ta được: a(x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$) + b(x + $\frac{1}{x}$) + c = 0. (2)
  • Bước 2: Đặt t = x + $\frac{1}{x}$, điều kiện t ≥ 2 suy ra x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = t$^2$-2. Khi đó, phương trình (2) có dạng: (2) <=> at$^2$ + bt + c-2a = 0 (3)
  • Bước 3: Khi đó:
a. Phương trình (1) có nghiệm, ta sử dụng phương pháp gián tiếp, tức là "Tìm điều kiện để (3) vô nghiệm hoặc cả hai nghiệm đều thuộc (-2; 2)".
b. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất => (3) có nghiệm t = 2 hoặc t = -2 => tham số.
Thử lại.
c. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> (3) có nghiệm
$\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2\,\,\& \,{t_2} = 2\\{t_1} < - 2 < {t_2} < 2\\ - 2 < {t_1} < 2 < {t_2}\end{array} \right.$.
d. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (3) có nghiệm
$\left[ \begin{array}{l}{t_1} < {t_2} = - 2\\2 = {t_1} < {t_2}\end{array} \right.$.
e. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (3) có nghiệm
$\left[ \begin{array}{l}2 < {t_1} < {t_2}\\{t_1} < {t_2} < - 2\\{t_1} < - 2 < 2 < {t_2}\end{array} \right.$.

Dạng 2: (Phương trình phản hồi quy): Để giải và biện luận phương trình: ax$^4$ + bx$^3$ + cx$^2$-bx + a = 0 (1)
ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x$^2$ ≠ 0, ta được: a(x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$) + b(x-$\frac{1}{x}$) + c = 0. (2)
  • Bước 2: Đặt t = x-$\frac{1}{x}$, suy ra x2 + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = t$^2$ + 2. Khi đó, phương trình (2) có dạng at$^2$ + bt + c + 2a = 0. (3)
* Chú ý:
  1. Với phương trình phản hồi quy trên không hề có điều kiện cho ẩn phụ t, tức là với mỗi nghiệm t0 của (3) ta luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho (1).
  2. Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho dạng phương trình: ax$^4$ + bx$^3$ + cx$^2$ + D$_x$ + e = 0 có các hệ số thoả mãn $\frac{e}{a}$ = ${\left( {\frac{d}{b}} \right)^2}$, e ≠ 0. Khi đó, ta sử dụng ẩn phụ t = x + $\frac{d}{b}$.$\frac{1}{x}$, và trong trường hợp bd > 0 ta có điều kiện t ≥ 2$\sqrt {\frac{d}{b}} $.

Thí dụ 1. Cho phương trình:
x$^4$ + mx$^3$-2(m$^2$-1)x$^2$ + mx + 1 = 0. (1)
a. Giải phương trình với m = 1.
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x$^2$ ≠ 0, ta được:
x$^2$ + mx - 2(m$^2$ - 1) + m.$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = 0 <=> (x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$) + m(x + $\frac{1}{x}$) - 2m2 + 2 = 0.
Đặt t = x + $\frac{1}{x}$, điều kiện |t| ≥ 2, suy ra x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = t$^2$-2.
Khi đó, phương trình có dạng: f(t) = t$^2$ + mt - 2m$^2$ = 0. (2)

a. Với m = 1 thì (2) có dạng: t$^2$ +t-2 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{|t| \ge 2} $ t = -2 <=> x + $\frac{1}{x}$ = -2 <=> x = -1.
Vậy, với m = 1 phương trình có nghiệm x = -1.

b. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt
<=> (3) có nghiệm thoả mãn $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2\,\,v\mu \,{t_2} = 2\\{t_1} < - 2 < {t_2} < 2\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\, - 2 < {t_1} < 2 < {t_2}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f( - 2) = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(2) > 0\\f( - 2) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(2) < 0\\f( - 2) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m - 2{m^2} = 0\\4 - 2m - 2{m^2} = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m - 2{m^2} > 0\\4 - 2m - 2{m^2} < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m - 2{m^2} < 0\\4 - 2m - 2{m^2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\{m^2} + m - 2 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 < 0\\{m^2} + m - 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\{m^2} + m - 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\ - 2 < m < - 1\end{array} \right..$
Vậy, với $1 < \left| m \right| < 2$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (3) có nghiệm thoả mãn:
$\left[ \begin{array}{l}2 < {t_1} < {t_2}\,\,ho{\rm{{\AE}c }}{t_1} < {t_2} < - 2\,\,\,\,(*)\\{t_1} < - 2 < 2 < {t_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)\end{array} \right.$.
Nhận xét rằng phương trình (2) có ac = -2m$^2$ < 0 nên (*) không thể xảy ra.
Khi đó, để có (**) điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}f(2) < 0\\f( - 2) < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m - 2{m^2} < 0\\4 - 2m - 2{m^2} < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\{m^2} + m - 2 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left| m \right| > 2.$
Vậy, với $\left| m \right| > 2$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 2. Cho phương trình: x$^4$-mx$^3$-2x$^2$ + mx + 1 = 0. (1)
a. Giải phương trình với m = 3.
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x$^2$ ≠ 0, ta được:
x$^2$ - mx - 2 + m.$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = 0 <=> (x2 + $\frac{1}{{{x^2}}}$) - m(x - $\frac{1}{x}$) - 2 = 0.
Đặt t = x - $\frac{1}{x}$, suy ra x$^2$ + $\frac{1}{{{x^2}}}$ = t$^2$+2.
Khi đó, phương trình có dạng:
f(t) = t$^2$ - mt = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = m\end{array} \right..$
Với t = 0, ta được:
$x - \frac{1}{x} = 0$$ \Rightarrow \,\,{x^2} - 1 = 0$ <=> x = ±1.

a. Với m = 3 ta được: t = 3 <=> x - $\frac{1}{x}$ = 3 <=> x2 - 3x - 1 = 0 <=> x = $\frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$.
Vậy, với m = 3 phương trình có bốn nghiệm x = ±1 và x = $\frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$.

b. Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt điều kiện là m = 0.

c. Phương trình có 4 nghiệm phân biệt điều kiện là m ≠ 0.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao