Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d .
- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 2\end{array} \right.\).A(-2;-2)
- Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\) (*)
- Ta có : \(\overrightarrow {MN} = \left( {x - 3;y - 3} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {2;1} \right)\quad H = \left( {\frac{{x + 3}}{2};\frac{{y + 3}}{2}} \right)\)
- Điều kiện (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)2 + \left( {y - 3} \right).1 = 0\\\frac{{x + 3}}{2} - 2.\left( {\frac{{y + 3}}{2}} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + y = 9\\x - 2y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\end{array} \right. \leftrightarrow N = \left( {5; - 1} \right)\).
- Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AN} = \left( {7;1} \right)\), nên (m) có phương trình là : \(\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 2}}{1} \Leftrightarrow x - 7y - 12 = 0\).

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ .
- Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y + 2 = 0\\x + 3y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{7}\\y = \frac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow A = \left( { - \frac{3}{7};\frac{8}{7}} \right)\)
- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2)
- Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’ thì điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\) (*) Với H là trung điểm của MN , \(\overrightarrow U \)là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta có : \(\overrightarrow {MN} = \left( {x;y - 2} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {3; - 1} \right)\;H = \left( {\frac{x}{2};\frac{{y + 2}}{2}} \right)\).
- Điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\rm{x}}. - \left( {y - 2} \right).1 = 0\\\frac{x}{2} + 3.\left( {\frac{{y + 2}}{2}} \right) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{3x - }}y = - 2\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{5}\\y = \frac{1}{5}\end{array} \right. \leftrightarrow N = \left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\)
- Đường thẳng (m) =(AN) đi qua \(N = \left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {AN} = \left( { - \frac{6}{{35}}; - \frac{{33}}{{35}}} \right)//\overrightarrow U = \left( {2;11} \right)\).
Do đó (m) : \(\frac{{x + \frac{3}{5}}}{2} = \frac{{y - \frac{1}{5}}}{{11}} = 0\; \Leftrightarrow 11{\rm{x}} - 2y + 7 = 0\).

Ví dụ 3. Cho đường tròn (C ) : \({x^2} + {y^2} - 4{\rm{x}} + 2y + 1 = 0\) và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d .
Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) .
Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 .
- Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , \(\overrightarrow U = \left( {1;2} \right)\) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {II'} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\) (*)
-Ta có : \(\overrightarrow {II'} = \left( {x - 2;y + 1} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {1;2} \right)\;H = \left( {\frac{{x + 2}}{2};\frac{{y - 1}}{2}} \right)\).
- Điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{\rm{x - 2}}} \right).1 + \left( {y + 1} \right).2 = 0\\2.\left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right) - \left( {\frac{{y - 1}}{2}} \right) + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x + }}y = 0\\2x - y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \leftrightarrow I' = \left( { - 3;3} \right)\)
- Vậy (C’): \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\).

Ví dụ 4. Cho (E) : \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Và đường thẳng d : x+y-2=0 . Lập phương trình (E’) là ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d .
Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 )
- Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (E) đã cho . Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên , dễ dàng tìm được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0) , M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 ). N’(4;-1 ) là ảnh của N(3;-2) . P’(0;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2) .
- Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’) .
* Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục . Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được .