Dạng 4: Xác định ly độ của vật dao động điều hòa sau thời gian ∆t

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Một vật dao động điều hòa với phương trình: \(x = A.cos(\omega t + \varphi )\). Tại thời điểm t1 vật có li độ x1, sau đó ∆t ⇒ vật có x$_2$?
  • Tại \(t_1 \Rightarrow x_1 = A.cos(\omega t_1 + \varphi )\)
  • Tại \(t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow x_2 = A.cos(\omega t_2 + \varphi )\)
\(\Rightarrow x_2 = A.cos [\omega (t_1 + \Delta t) + \varphi ]\)
\(x_2 = A.cos (\omega t_1 + \varphi + \omega .\Delta t)\)
\(x_2 = A.[cos (\omega t_1 + \varphi)cos (\omega .\Delta t) - sin (\omega t_1 + \varphi) sin (\omega .\Delta t)]\)
\(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1 - cos^2(\omega t_1 + \varphi )}.sin(\omega.\Delta t)\)
\(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1-\left ( \frac{x_1}{A} \right )^2}sin(\omega . \Delta t)\)
Vậy \(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{A^2 - x_{1}^{2}}.sin(\omega . \Delta t)\)
Lấy dấu:
  • (+) nếu v1 > 0
  • (-) nếu v1 < 0
* Các trường hợp đặc biệt
  • \(1/\left\{\begin{matrix} \Delta t = K.T\\ K\in Z \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = x_1\)
  • \(2/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right )T = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{2}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = -x_1\)
  • \(3/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right ) \frac{T}{2} = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{4}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right.\)
  • \(\omega .\Delta t = \frac{2 \pi}{T}(2K + 1)\frac{T}{4} = (2K + 1)\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{A^2 - x_{1}^{2}} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2\)
Ví dụ 1: Một vật dao động với phương trình:\(x = 7.cos4\pi t\)(cm).
a. Tại thời điểm t1 vật có x1 = 3 cm và đang ra xa vị trí cân bằng.
  • a1. Tìm x$_2$ sau đó 2s?
  • a2. Tìm x$_2$ trước đó 3,25s?
  • a3. Tìm x$_2$ sau đó 5,3s?
b. Tại thời điểm t1 vật có x1 = 2 cm. Tìm x$_2$ sau đó s?
Giải
a. \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 2\ cm\\ v_1 > 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Dao động điều hòa.png

  • a1. \(T = \frac{2\pi}{\omega }= \frac{1}{2}s \Rightarrow \frac{\Delta t}{T} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \Rightarrow x_2 = x_1 = 3\ cm\)
  • a2. \(\frac{\Delta t}{T} = \frac{3,25}{\frac{1}{2}} = 6,5 \Rightarrow x_2 = -x_1 = -3\ cm\)
  • a3. \(x_2 = 3.cos(4 \pi.5,3) + \sqrt{7^2 - 3^2}.sin(4 \pi .5,3) = \ ?\)
b. \(\frac{\Delta t}{T}=\frac{\frac{33}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{33}{4} \Rightarrow x_{2}^{2} + x_{1}^{2} = A^2 \Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{7^2 - 2^2}\Rightarrow x_2 = \pm 3\sqrt{5}(cm)\)

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t vật cách vị trí gốc tọa độ 5 cm, sau đó \(2015.\frac{T}{4}\) vật có tốc độ 50 cm/s. Tìm tần số của vật?
Giải
\(t_1.|x_1| = 5\ cm\)
\(\left\{\begin{matrix} t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow |v_2| = 50\ cm/s\\ \Delta t = 2015.\frac{T}{4} \hspace{3,1cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow f = \ ?\)
\(\Delta t = 2015.\frac{T}{4} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2 \ \ \ (1)\)
Ta có: \(A^2 = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2} \ \ \ (2)\)
Từ (1) \(\Rightarrow x_{2}^{2} = A^2 - x_{1}^{2}\) thay vào (2)
\(\\ \Rightarrow A^2 = A^2 - x_{1}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\\ \Rightarrow |x_1| = \bigg |\frac{v_2}{\omega } \bigg | \\ \Rightarrow \omega = \bigg |\frac{v_2}{x_1} \bigg | = 10 \frac{rad}{s}\\ \Rightarrow f = \frac{a}{2 \pi} = \frac{5}{\pi}(Hz)\)
 

Chương 1: Dao động cơ

Bài 1: Dao động điều hòa Bài 2: Con lắc lò xo Bài 3: Con lắc đơn Bài 4: Dao động duy trì - dao động cưỡng bức - dao động tắt dần Bài 5: Tổng hợp dao động

Bài 6: Sơ đồ tư duy chương dao động cơ

Tài liệu: dao động cơ