Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.

Thí dụ 1. Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3 > 0\\2{x^2} + 5x + 3 \le 0\end{array} \right.$.
Hệ bất phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\ - \frac{3}{2} \le x \le - 1\end{array} \right.$⇔ -$\frac{4}{3}$ < x ≤ -1.
Vậy, tập nghiệm của hệ bất phương trình là T = (-$\frac{4}{3}$; -1].

Thí dụ 2. Xác định m sao cho với mọi x ta đều có:
9 < $\frac{{3{x^2} - mx - 6}}{{{x^2} + x + 1}}$ < 6. (*)
Vì x$^2$ + x + 1 > 0, ∀x, nên ta biến đổi tương đương về dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}12{x^2} - (m - 9)x + 3 > 0\,\,\,\,\,(1)\\3{x^2} + (m + 6)x + 12 > 0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Khi đó, để (*) đúng với mọi x điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} < 0\\{\Delta _{(2)}} < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(m - 9)^2} - 4.3.12 < 0\\{(m + 6)^2} - 4.3.12 < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 21\\ - 18 < m < 6\end{array} \right.$ ⇔ -3 < m < 6.
Vậy, với -3 < m < 6 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - (4m - 1)x + 3{m^2} - m = 0\,\,\,(1)\\{x^2} - 3x + 2 < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Giải (2) ta được 1 < x < 2.
Đặt f(x) = x$^2$ - 2(m + 2)x + 5m + 6.
Hệ có đúng một nghiệm ⇔ (1) có đúng 1 nghiệm thuộc (1; 2), ta xét:
  • (1) có nghiệm kép thuộc (1; 2)⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\frac{S}{2} \in (1,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4m + 1 = 0\\1 < \frac{{4m - 1}}{2} < 2\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\3 < 4m < 5\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có nghiệm thoả mãn x$_1$ = 1 < x$_2$ < 2⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 0\\S - 1 \in (1,\,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 5m + 2 = 0\\1 < 4m - 1 - 1 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có nghiệm thoả mãn 1 < x$_1$ < 2 = x$_2$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(2) = 0\\S - 2 \in (1,\,2)\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 9m + 6 = 0\\1 < 4m - 1 - 2 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có đúng một nghiệm thuộc (1, 2)⇔ f(1).f(2) < 0 ⇔ (3m$^2$ - 5m + 2)(3m$^2$ - 9m + 6) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m∈($\frac{2}{3}$; 2)\{1} thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Từ việc nhận thấy Δ(1) là một số chính phương nên có thể thực hiện ví dụ theo cách:
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 3m - 1\end{array} \right.\\1 < x < 2\end{array} \right.$. (I)
Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm duy nhất: ⇔ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(3m - 1) \ge 0\\3m - 1 = m\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 < 3m - 1 < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(m) \ge 0\\m = 3m - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.

Thí dụ 4. Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^3 - 3x{}^2 - 10x + 24 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x{}^2 + 2(m - 1)x - 2m + 1 = 0\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
a. Tìm m để hệ có hai nghiệm âm.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Trước tiên:
  • Biến đổi (1) về dạng: (x - 2)(x$^2$ - x - 12) < 0 ⇔ (x - 2)(x - 4)(x + 3) < 0 ⇔ x ∈ T = (-3; 2) ∪ (4; +∞).
  • Biến đổi (2) về dạng: (x - 1)(x + 2m - 1) = 0 ⇔ x$_1$ = 1 và x$_2$ = 1 - 2m.
a. Ta thấy ngay hệ không thể có hai nghiệm âm.
b. Để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện là: x$_2$ ∉ T ⇔ $\left[ \begin{array}{l}1 - 2m \le - 3\\2 \le 1 - 2m \le 4\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\ - \frac{3}{2} \le m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Thí dụ 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^2 - 3x - 10 \le 0\\mx + m - 2 > 0\end{array} \right.$.
Kí hiệu các bất phương trình trong hệ theo thứ tự là (1) và (2).
Giải (1) ta được -5 ≤ x ≤ 2.
Xét các trường hợp:
  • Trường hợp 1: Nếu m < 0 thì nghiệm của (2) là x < $\frac{{2 - m}}{m}$. Khi đó, điều kiện để hệ có nghiệm là: -5 ≤ $\frac{{2 - m}}{m}$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} $ -5m ≥ 2 - m ⇔ m ≤ -$\frac{1}{2}$.
  • Trường hợp 2: Nếu m = 0 thì (2) có dạng -2 > 0, mâu thuẫn.
  • Trường hợp 3: Nếu m > 0 thì nghiệm của (2) là x > $\frac{{2 - m}}{m}$.
Khi đó, điều kiện để hệ có nghiệm là: $\frac{{2 - m}}{m}$ ≤ 2 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} $ 2 - m ≤ 2m ⇔ m ≥ $\frac{2}{3}$.
Vậy, với m ≤ -$\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{2}{3}$ hệ có nghiệm.

✅ Xem bản đầy đủ: Bất phương trìnhbất đẳng thức
 
Sửa lần cuối:

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn