Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆'. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _lt_01.png
Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _lt_02.png
Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆' và vuông góc với ∆ tại I.
  • Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ $IJ \bot \Delta '$.
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = IJ$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _lt_03.png
Trường hợp 2: ∆ và ∆' chéo nhau mà không vuông góc với nhau
  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆' và song song với ∆.
  • Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
  • Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta '$, dựng $HK\parallel MN$
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HK = MN$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _lt_04.png
Hoặc
  • Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha ) \bot \Delta $ tại I.
  • Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆' xuống mặt phẳng (α).
  • Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng $IJ \bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆' tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$.
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HM = IJ$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _lt_05.png
Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,{\rm{ }}SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $K,{\rm{ }}H$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên $S
D.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK.
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH.
D. Các khẳng định trên đều sai.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _01.png

Nếu $AK \bot AC,{\rm{ do }}AK \bot AB \Rightarrow AK \bot (ABC)$
$ \Rightarrow AK \equiv SA$ (vì $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot SD \Rightarrow \Delta SAD$ có 2 góc vuông (vô lý).
Theo tính chất của hình vuông $CD\not \bot AC$.
Nếu $AC \bot OH,{\rm{ do }}AC \bot BD \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow AC \bot SO \Rightarrow \Delta SOA$ có 2 góc vuông (vô lý)
Như vậy $AC\not \bot AK,{\rm{ }}AC\not \bot CD,{\rm{ }}AC\not \bot OH$
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa ABvà CD.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _02.png

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Cách khác. Tính $MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình chữ nhật với$AC = a\sqrt 5 $và $BC = a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách giữa $SD$ và $BC$.
A. $\frac{{3a}}{4}$.
B. $\frac{{2a}}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Chọn D.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _03.png

Ta có: $BC$//$\left( {SAD} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {BC;SD} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.
Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB$.
Ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}} = \sqrt 3 a$.
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB' và AC bằng:
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _04.png

Ta có: $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng $1$ (đvdt). Khoảng cách giữa AA' và BD' bằng:
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.
D. $\frac{{3\sqrt 5 }}{7}$.
Chọn B.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _05.png

Ta có: $d\left( {AA';BD'} \right) = d\left( {BB';\left( {DBB'D'} \right)} \right) = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Chọn A.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _06.png

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và $A'C'$ là :
A. AA'.
B. BB'.
C. DA'.
D. DD'.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _07.png

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\\A'C' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right. \to AA' \bot A'C'\\\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABCD} \right)\\AD \subset (ABCD\end{array} \right.{\rm{ }} \to AA' \bot AD\end{array}$
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. a.
B. $a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 3 .$
D. 2a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _08.png

Ta có:$d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a.$
Chọn phương án A.
Câu 9: Cho tứ diện $OABC$ trong đó $OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC$ đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
A. a
B. $\frac{a}{{\sqrt 5 }}$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
D. $\frac{a}{2}$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _09.png

Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.
Tam giác AOJ vuông tại O, có OH là đường cao $OH = \frac{{OA.OJ}}{{\sqrt {O{A^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}$
Ta có: $OC{\rm{//}}IJ$ nên $OC{\rm{//}}\left( {AIJ} \right)$
Do đó: $d\left( {AI,OC} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {OC,\left( {AIJ} \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {O,\left( {AIJ} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.$ Chọn đáp án B.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và $B,{\rm{ }}AB = BC = a,{\rm{ }}AD = 2a,$ SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
B. $\frac{a}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _10.png

Gọi H là trung điểm AD ta có: $d(CD;SB) = d(D;(SBH)) = d(A;(SBH))$
Mà $\frac{1}{{{d^2}(A;(SBH))}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \to d(CD;SB) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Chọn đáp án $C$
Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
A. $\frac{{a\sqrt {21} }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.
C. $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.
D. $\frac{{a\sqrt {15} }}{3}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _11.png

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm AD,BC. Ta có: $AD,BC \bot (SFE)$, suy ra $SF$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF)
Nên $d(AD;SB) = d(E;SF) = \frac{{SE.FE}}{{\sqrt {S{E^2} + F{E^2}} }} = \frac{{a\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\sqrt {\frac{3}{4}{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a$
Chọn đáp án B
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $A{A_1} = 2a,AD = 4a$. Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A_1}{B_1}$ và ${C_1}M$ bằng bao nhiêu?
A. 3a.
B. $2a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 2 .$
D. 2a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _12.png

Ta có ${A_1}{B_1}{\rm{//}}{C_1}{D_1}$ suy ra
$d\left( {{A_1}{B_1},{C_1}M} \right) = d\left( {{A_1}{B_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right)$
Vì $A{A_1} = 2a,{\rm{ }}AD = 4a$ và M là trung điểmAD nên ${A_1}M \bot {D_1}M$, suy ra ${A_1}M \bot \left( {{C_1}{D_1}M} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = {A_1}M = 2a\sqrt 2 $.
Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B' bằng bao nhiêu?
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _13.png

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot A'A\\A'B' \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {ADD'A'} \right)$.
Gọi H là giao điểm của AD' với A'
D. $ \Rightarrow A'H \bot AD'$
$\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot AD'\\A'H \bot A'B'\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A'B';AD'} \right) = A'H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB' và AC bằng
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau _14.png

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA'C'C} \right) \supset AC}\\{\left( {AA'C'C} \right){\rm{//}}BB'}\end{array}} \right.$ nên $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C'C} \right)} \right)$.
Gọi $I = AC \cap BD$. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình
lập phương nên $BI \bot \left( {AA'C'C} \right)$.
Suy ra $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C'C} \right)} \right) = IB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn đáp án C.

✅ Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
 
Sửa lần cuối:

Chương 8: Vector trong không gian

Các dạng toán liên quan giữa hai đường thẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa hai mặt phẳng trong không gian Các dạng toán tính khoảng cách trong không gian