Dạng 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C$_1$) và (C$_2$)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Giả sử (d): Ax + By + C = 0, với A$^2$ + B$^2$>0 là tiếp tuyến chung của (C$_1$) và (C$_2$).
  • Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với (C$_1$) và (C$_2$); d(I$_1$, (d)) = R1 & d(I$_2$, (d)) = R$^2$.
  • Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d).

Thí dụ 1. Cho hai đường tròn (C$_1$) và (C$_2$) có phương trình: (C$_1$): (x - 1)$^2$ + (y - 1)$^2$ = 1, (C$_2$): (x - 2)$^2$ + (y + 1)$^2$ = 4.
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
Đường tròn (C$_1$) có tâm I$_1$(1, 1) và bán kính R1 = 1.
Đường tròn (C$_2$) có tâm I$_2$(2, - 1) và bán kính R2 = 2.
Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = 0, với A$^2$ + B$^2$ > 0 (1)
Ta có (d) tiếp xúc với (C$_1$) và (C$_2$) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},(d)) = {R_1}\\d({I_2},(d)) = {R_2}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{|A + B + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 1\\\frac{{|2A - B + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|A + B + C| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \\|2A - B + C| = 2|A + B + C|\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|A + B + C| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \\\left[ \begin{array}{l}C = - 3B\\C = - \frac{1}{3}(4A + B)\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C = - 3B\\|A + B - 3B| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}C = - \frac{1}{3}(4A + B)\\|A + B - \frac{1}{3}(4A + B)| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \end{array} \right.\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}C = - 3B\,\& \,B = 0\\C = - 3B\,\& \,A = \frac{{3B}}{4}\end{array} \right.$
Khi đó ta được hai tiếp tuyến chung:
(d$_1$): Ax = 0 ⇔ (d$_1$): x = 0,
(d$_2$): $\frac{{3B}}{4}$x + By - 3B = 0 ⇔ (d$_2$): 3x + 4y - 12 = 0,
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến chung (d$_1$), (d$_2$) của (C$_1$) và (C$_2$).

Thí dụ 2. Cho hai đường tròn (C) và (Cm) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ = 1, (Cm): x$^2$ + y$^2$ - 2(m + 1)x + 4my = 5.
a. Chứng minh rằng có 2 đường tròn (C$_{m1}$), (C$_{m2}$) tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với 2 giá trị m1, m2 của m.
b. Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn (C$_{m1}$), (C$_{m2}$).
a. Ta có:
• Đường tròn (C) có tâm O(0, 0) và bán kính R = 1.
• Đường tròn (Cm) có tâm I$_m$(m + 1, - 2m) và bán kính Rm = $\sqrt {5{m^2} + 2m + 6} $.
Nhận xét rằng: (C) và (Cm) tiếp xúc nhau ⇔ $\left[ \begin{array}{l}O{I_m} = R + {R_m}\\O{I_m} = |R - {R_m}|\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{m_1} = - 1\\{m_2} = \frac{3}{5}\end{array} \right.$

b. Tiếp tuyến chung của (C - 1) và (C$_{3/5}$) là
(d$_1$): 2x + y + 3$\sqrt 5 $ - 2 = 0 và (d$_2$): 2x + y - 3$\sqrt 5 $ - 2 = 0.
 
Sửa lần cuối: