Phương pháp thực hiện
Kí hiệu phương trình ban đầu là (1), ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: [x$^2$ + (a + b)x + ab].[x$^2$ + (c + d)x + cd] = m. (2)
Bước 2: Đặt t = x$^2$ + (a + b)x + ab, điều kiện t ≥-$\frac{{{{(a - b)}^2}}}{4}$ (chính là -$\frac{\Delta }{{4a}}$)
Suy ra x$^2$ + (c + d)x + cd = t-ab + cd.
Khi đó, phương trình (2) có dạng: t(t-ab + cd) = m <=> t$^2$-(ab-cd)t-m = 0. (3)
Bước 3: Khi đó:
Kí hiệu phương trình ban đầu là (1), ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: [x$^2$ + (a + b)x + ab].[x$^2$ + (c + d)x + cd] = m. (2)
Bước 2: Đặt t = x$^2$ + (a + b)x + ab, điều kiện t ≥-$\frac{{{{(a - b)}^2}}}{4}$ (chính là -$\frac{\Delta }{{4a}}$)
Suy ra x$^2$ + (c + d)x + cd = t-ab + cd.
Khi đó, phương trình (2) có dạng: t(t-ab + cd) = m <=> t$^2$-(ab-cd)t-m = 0. (3)
Bước 3: Khi đó:
- a. Phương trình (1) có nghiệm <=> (2) có nghiệm thoả mãn t≥-$\frac{{{{(a - b)}^2}}}{4}$ = α<=> $\left[ \begin{array}{l}{t_1} \le \alpha \le {t_2}\\\alpha \le {t_1} \le {t_2}\end{array} \right.$.
- b. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> (2) có nghiệm t1 ≤ t2 = α.
- c. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt<=> (2) có nghiệm thoả mãn $\left[ \begin{array}{l}\alpha < {t_1} = {t_2}\\{t_1} < \alpha < {t_2}\end{array} \right.$.
- d. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt<=> (2) có nghiệm α = t1 < t2.
- e. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt<=> (2) có nghiệm α < t1 < t2.
Thí dụ: Cho phương trình: x(x-2)(x + 2)(x + 4) = 2m. (1)
a. Giải phương trình với m = -6.
b. Tìm m để phương trình vô nghiệm.
c. Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm.
d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
e. Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
f. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải
Viết lại phương trình dưới dạng: (x$^2$ + 2x)(x$^2$ + 2x - 8) = m.Đặt t = x$^2$ + 2x + 1, điều kiện t ≥0, suy ra x$^2$ + 2x = t - 1 và x$^2$ + 2x - 8 = t - 9.
Khi đó phương trình trên có dạng: (t - 1)(t - 9) = 2m <=> f(t) = t$^2$ - 10t + 9-2m = 0. (2)
a. Với m = -6, ta được:
(2) <=> t$^2$ - 10t+21 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 7\end{array} \right.$.
Ta lần lượt:
- Với t = 3, ta được:x$^2$ + 2x + 1 = 3 <=> x2 + 2x - 2 = 0 <=> x1, 2 = $\frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}$.
- Với t = 7, ta được:x$^2$ + 2x + 1 = 7 <=> x2 + 2x - 6 = 0 <=> x$_{3, 4}$ = $\frac{{ - 1 \pm \sqrt 7 }}{2}$.
b. Phương trình (1) vô nghiệm khi:
$\left[ \begin{array}{l} (2)\,vo\,nghiem\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\ (2)co\,hai\,nghiem\,nho\,hon\,\,0\,\,\,(**) \end{array} \right.$
Nhận xét rằng phương trình (2) có S = 10 > 0 nên (**) không thể xảy ra.
Khi đó, để có (*) điều kiện là: Δ’ < 0 <=> 25 - (9 - 2m) < 0 <=> 2m + 16 < 0 <=> m < -8.
Vậy, với m < -8 thoả mãn điều kiện đầu bài.
c. Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm khi:
(2) có nghiệm thoả mãn t1 ≤ t2 =0 <=> $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\f(0) = 0\\S \le 0\end{array} \right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.
d. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi:
$\left[ \begin{array}{l} (2)\,co\,nghiem\,kep\,lon\,hon\,\,0\\ (2)\,\,co\,hai\,nghiem\,\,{t_1} < 0 < {t_2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\S > 0\end{array} \right.\\P < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 16 = 0\\10 > 0\end{array} \right.\\9 - 2m < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = - 8\\m > 9/2\end{array} \right.$.
Vậy, với m = - 8 hoặc m > 4,5 thoả mãn điều kiện đầu bài.
e. Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi:
(2) có nghiệm 0 = t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f(0) = 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2m + 16 > 0\\9 - 2m = 0\\10 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m = \frac{9}{2}.$
Vậy, với $m = \frac{9}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
f. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi:
(2) có nghiệm 0 < t1 < t2 <=> $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2m + 16 > 0\\9 - 2m > 0\\10 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\, - 8 < m < \frac{9}{2}.$
Vậy, với $ - 8 < m < \frac{9}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Sửa lần cuối: