Phương pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số có dạng: Y = f(X + a) <=> Y = F(X)(1)
Bước 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn.
Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng.
2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số có dạng: Y = f(X + a) <=> Y = F(X) (1)
Bước 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng
<=> hàm số (1) là hàm số chẵn <=> tham số .
Bước 3: Kết luận.
3. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a.
Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)∈(H)
<=> ∃M1(x1; y1)∈(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a
<=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = f({x_1})\\{x_1} = x\\{y_1} + y = 2a\end{array} \right.$ (I)
Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số có dạng: Y = f(X + a) <=> Y = F(X)(1)
Bước 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn.
Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng.
2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số có dạng: Y = f(X + a) <=> Y = F(X) (1)
Bước 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng
<=> hàm số (1) là hàm số chẵn <=> tham số .
Bước 3: Kết luận.
3. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a.
Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)∈(H)
<=> ∃M1(x1; y1)∈(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a
<=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = f({x_1})\\{x_1} = x\\{y_1} + y = 2a\end{array} \right.$ (I)
Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).
Thí dụ 1. Tìm trục đối xứng của đồ các thị hàm số:
a. y = x$^2$ + 4x + 3.
b. y = x$^4$ + 2x$^2$ + 2.
Giải
a. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số: Y = (X + a)$^2$ + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn.
Ta có: Y = (X + a)$^2$ + 4(X + a) + 3 = X$^2$ + 2(a + 2)X + a$^2$ + 4a + 3. (1)
Hàm số (1) là hàm số chẵn <=> a + 2 = 0 <=> a = – 2
Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x + 2 = 0.
b. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số: Y = (X + a)$^4$ + 2(X + a)$^2$ + 2 là hàm số chẵn
Ta có: Y = (X + a)$^4$ + 2(X + a)$^2$ + 2
= X$^4$ + 4aX$^3$ + (6a$^2$ + 2)X$^2$ + (4a$^3$ + 4a)X + 2a + 2 (1)
Hàm số (1) là chẵn:
<=> $\left\{ \begin{array}{l}4a = 0\\4{a^3} + 4a = 0\end{array} \right.$ <=> a = 0.
Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung.
Thí dụ 2. Cho hàm số: y = x$^4$ + 4mx$^3$ - 2(m - 1)x$^2 $- 2mx + 1.
Tìm m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.
Giải
Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a ≠ 0).Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y\end{array} \right.$
hàm số: Y = (X + a)$^4$ + 4m(X + a)$^3$ – 2(m–1)(X + a)$^2$ – 2m(X + a) + 1 là chẵn.
Ta có: Y = (X + a)$^4$ + 4m(X + a)$^3$ – 2(m – 1)(X + a)$^2$ – 2m(X + a) + 1
= X$^4$ + (4a + 4m)X$^3$ + (6a$^2$ + 12ma – 2m + 2)X$^2$ +
+ (4a$^3$ + 12ma$^2$ – 4ma + 4a – 2m)X +
+ a$^4$ + 4ma$^2$^–2(m–1)a$^2$–2ma + 1. (1)
Hàm số (1) chẵn: <=> $\left\{ \begin{array}{l}4a + 4m = 0\\4{a^3} + 12m{a^2} - 4ma + 4a - 2m = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}a = - m\\4{m^3} + 2{m^2} - 3m = 0\end{array} \right.$
$\mathop \Rightarrow \limits^{m \ne 0} $ 4m$^2$ + 2m - 3 = 0
<=> m = $\frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}$.
Vậy, với m = $\frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Sửa lần cuối: