Phương pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa:
* Nếu ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn trên.
* Nếu ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn dưới.
* Nếu ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn.
Chú ý: Ta có các kết quả:
* Mọi dãy số (u$_n$) giảm luôn bị chặn trên bởi u1.
* Mọi dãy số (u$_n$) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (u$_n$), biết:
a. u$_n$ = ${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$.
b. u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $.
Mặt khác, ta có: |u$_n$| = |${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$| = |sin$\frac{1}{n}$| ≤ 1 => (u$_n$) bị chặn.
b. Ta có nhận xét:
u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$,
u$_{n + 1}$ = $\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}$ < $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ = u$_n$
Vậy, dãy (u$_n$) giảm.
Mặt khác, ta có: 0 < $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ < 1 => (u$_n$) bị chặn.
Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{{n^2} + 1}}{n}$ bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Khi đó, ta nhận thấy:
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì: u$_n$ $\mathop \ge \limits^{C\ll si} $2$\sqrt {n.\frac{1}{n}} $ = 2 => (u$_n$) bị chặn dưới bởi 2.
* Không tồn tại số M để u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* nên (u$_n$) không bị chặn trên.
Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Thí dụ 3. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ bị chặn.
* u$_n$ ≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.
* Ta đi chứng minh u$_n$ ≤ 1 với ∀n ∈ N* bằng việc sử dụng biến đổi đại số, cụ thể:
$\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ ≤ 1 <=> $\sqrt {{n^2} + 1} $ ≥ n - 1 <=> n$^2$ + 1 ≥ n$^2$ - 2n + 1<=> n ≥ 0, luôn đúng.
Suy ra, ta luôn có u$_n$ ≤ 1, ∀n ∈ N*, tức là (u$_n$) bị chặn dưới bởi 1.
Vậy, ta được 0 ≤ u$_n$ ≤ 1, do đó nó bị chặn.
Thí dụ 4. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của dãy số sau: u$_n$ = $\frac{1}{{1.2}}$ + $\frac{1}{{2.3}}$ + ... + $\frac{1}{{n(n + 1)}}$.
từ đó, ta thấy: u$_n$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + … + $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$= 1 - $\frac{1}{{n + 1}}$ (1)
= $\frac{n}{{n + 1}}$.(2)
Khi đó:
* Từ (1) ta suy ra u$_n$ < 1, do đó nó bị chặn trên.
* Từ (2) ta suy ra u$_n$≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.
Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn.
Sử dụng định nghĩa:
* Nếu ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn trên.
* Nếu ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn dưới.
* Nếu ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn.
Chú ý: Ta có các kết quả:
* Mọi dãy số (u$_n$) giảm luôn bị chặn trên bởi u1.
* Mọi dãy số (u$_n$) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (u$_n$), biết:
a. u$_n$ = ${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$.
b. u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $.
Giải
a. Ta có nhận xét rằng dãy số (u$_n$) đan dấu nên nó không tăng, không giảm.Mặt khác, ta có: |u$_n$| = |${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$| = |sin$\frac{1}{n}$| ≤ 1 => (u$_n$) bị chặn.
b. Ta có nhận xét:
u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$,
u$_{n + 1}$ = $\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}$ < $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ = u$_n$
Vậy, dãy (u$_n$) giảm.
Mặt khác, ta có: 0 < $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ < 1 => (u$_n$) bị chặn.
Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{{n^2} + 1}}{n}$ bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Giải
Viết lại u$_n$ dưới dạng u$_n$ = n + $\frac{1}{n}$.Khi đó, ta nhận thấy:
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì: u$_n$ $\mathop \ge \limits^{C\ll si} $2$\sqrt {n.\frac{1}{n}} $ = 2 => (u$_n$) bị chặn dưới bởi 2.
* Không tồn tại số M để u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* nên (u$_n$) không bị chặn trên.
Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Thí dụ 3. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ bị chặn.
Giải
Ta thấy ngay:* u$_n$ ≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.
* Ta đi chứng minh u$_n$ ≤ 1 với ∀n ∈ N* bằng việc sử dụng biến đổi đại số, cụ thể:
$\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ ≤ 1 <=> $\sqrt {{n^2} + 1} $ ≥ n - 1 <=> n$^2$ + 1 ≥ n$^2$ - 2n + 1<=> n ≥ 0, luôn đúng.
Suy ra, ta luôn có u$_n$ ≤ 1, ∀n ∈ N*, tức là (u$_n$) bị chặn dưới bởi 1.
Vậy, ta được 0 ≤ u$_n$ ≤ 1, do đó nó bị chặn.
Thí dụ 4. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của dãy số sau: u$_n$ = $\frac{1}{{1.2}}$ + $\frac{1}{{2.3}}$ + ... + $\frac{1}{{n(n + 1)}}$.
Giải
Ta có $\frac{1}{{n(n + 1)}}$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$từ đó, ta thấy: u$_n$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + … + $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$= 1 - $\frac{1}{{n + 1}}$ (1)
= $\frac{n}{{n + 1}}$.(2)
Khi đó:
* Từ (1) ta suy ra u$_n$ < 1, do đó nó bị chặn trên.
* Từ (2) ta suy ra u$_n$≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.
Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn.
Nguồn: Học Lớp