Dạng 6: Tìm thời điểm vật qua vị trí x0 lần thứ n

Ta biết dao động điều hòa có mối liên hệ mật thiết với chuyển động tròn đều. Một công thức tương quan về mối liên hệ đó là \(\Rightarrow \Delta t = \frac{\alpha }{2\pi}.T\)
Đường tròn diễn tả điều đó:

\(\\ \cdot \ x = 0 \Rightarrow x = \frac{A}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \Delta t = \frac{T}{12}\\ \cdot \ x = 0 \Rightarrow x = \frac{A}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \Delta t = \frac{T}{8}\\ \cdot \ x = 0 \Rightarrow x = \frac{A\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \Delta t = \frac{T}{6}\\ \cdot \ x = 0 \Rightarrow x = A \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \Delta t = \frac{T}{4}\)

Công thức tổng quát: \(\Delta t = \frac{\alpha }{2 \pi }.T\)
Điều đó được mô tả bằng sơ đồ thời gian

Bài toán: Tìm thời điểm vật qua vị trí x0 lần thứ n
Cho dao động: \(x = Acos(\omega t + \varphi )\)
Cách 1: Khi \(x = x_0 \Rightarrow cos(\omega t + \varphi ) = \frac{x_0}{A} \ \ (*)\) ⇒ Tìm kết quả
Cách 2: Sử dụng sơ đồ thời gian

• Xác định trạng thái ban đầu (t = 0)
• Vẽ sơ đồ, xác định x0
• Vẽ đường đi ⇒ kết quả

Chú ý: (1) Khi không xét chiều chuyển động tại x0 \((x_0 \neq \pm A)\).

• Suy ra \(t_n = t_1 + \frac{n-1}{2}.T\): n là số lẻ
• hoặc \(t_n = t_2 + \frac{n-1}{2}.T\): n là số chẵn
• (2) Khi có xét chiều chuyển động tại x0 ⇒ tn = t1 + (n – 1)T

Ví dụ 1: Cho dao động \(x= 2\sqrt{2}.cos(10\pi t - \frac{\pi}{3})\) (cm).
a. Tìm thời điểm vật qua vị trí cân bằng lần 2015?
b. Tìm thời điểm vật qua vị trí x = -2cm lầm 2016?
Cách 1:
a. Vật qua VTCB \(x = 0 \Rightarrow cos(10\pi t - \frac{\pi}{3}) = 0\)
\(\\ \Rightarrow 10\pi t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k \pi\\ \Leftrightarrow 10 \pi t = \frac{5 \pi }{6} + k \pi \Rightarrow t = \frac{1}{12} + \frac{k}{10} \ (Voi \ k \in Z; t > 0)\)
\(\\ \cdot \ k = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{12} + \frac{0}{10}\\ \cdot \ k = 1 \Rightarrow t_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{10}\\ \cdot \ k = 2 \Rightarrow t_3 = \frac{1}{12} + \frac{2}{10}\\ \vdots\\ \Rightarrow k = 2014 \Rightarrow t_{2015} = \frac{1}{12} + \frac{2014}{10} = \frac{12089}{60}s\)

b.
\(\left\{\begin{matrix} x = -2 \Rightarrow cos(10\pi t - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ t_{2016} = \ ? \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow cos(10\pi t - \frac{ \pi }{3}) = cos \frac{3 \pi }{4}\)
\(\Rightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 10\pi t - \frac{\pi}{3} = - \frac{3 \pi}{4} + k2 \pi\\ 10\pi t - \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi}{4} + k2 \pi \ \ \end{matrix}\)
\(\Rightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 10\pi t = - \frac{5 \pi}{12} + k2 \pi\\ 10\pi t = \frac{13 \pi}{12} + k2 \pi \ \ \end{matrix}\)
\(\Rightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} t = - \frac{1}{24} + \frac{k}{5}\\ t = \frac{13}{120} + \frac{k}{5}\ \end{matrix} \ \ \ (k \in Z; t > 0)\)
\(\\ \cdot \ k = 0: \Bigg \lbrack \begin{matrix} t_0 = - \frac{1}{24} + \frac{0}{5}\\ t_1 = \frac{13}{120} + \frac{0}{5}\ \end{matrix}\\ \cdot \ k = 1: \Bigg \lbrack \begin{matrix} t_2 = - \frac{1}{24} + \frac{1}{5}\\ t_3 = \frac{13}{120} + \frac{10}{5}\ \end{matrix}\\ \cdot \ k = 2: \Bigg \lbrack \begin{matrix} t_4 = - \frac{1}{24} + \frac{2}{5}\\ t_5 = \frac{13}{120} + \frac{2}{5}\ \end{matrix}\)
\(\Rightarrow t_{2n} = -\frac{1}{24} + \frac{n}{5}\)
Với 2016 = 2n ⇒ n = 1008
\(\Rightarrow t_{2016} = -\frac{1}{24} + \frac{1008}{5} = \frac{24187}{120}(s)\)

Cách 2:
a.
\(\left\{\begin{matrix} x=0\\ t_{2015} = \ ? \end{matrix}\right.\)
\(t = 0: \left\{\begin{matrix} x = \sqrt{2}\\ v > 0 \ \ \end{matrix}\right.\)

\(\\ t_1 = \frac{T}{6} + \frac{T}{4} = \frac{5T}{12}\\ \Rightarrow t_{2015} = t_1 + \frac{2014}{2}.T\\ \Rightarrow t_{2015} = \left ( \frac{5}{12} + \frac{2014}{2} \right ).T\\ \Rightarrow t_{2015} = \frac{12089}{60}s\)

b.

\(\\ t_2 = \frac{T}{6} + \frac{T}{2} + \frac{T}{8}= \frac{19T}{24}\\ \Rightarrow t_{2016} = t_2 + \frac{2016 - 2}{2}.T = \left ( \frac{19}{24} + 1007 \right ). \frac{1}{5} = \frac{24187}{120} (s)\)

VD2: Cho dao động \(x = 3.cos(4 \pi t + \frac{ \pi }{6})\) (cm). Tìm thời điểm vật qua vị trí \(x = -1,5\sqrt{3}\) cm và đang ra xa VTCB lần thứ 2016?
\(\left\{\begin{matrix} x = -1,5\sqrt{3}\\ v < 0 \hspace{1,3cm}\\ t_{2016} = \ ? \hspace{0,6cm} \end{matrix}\right.\)

Cách 1:
\(\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos(4 \pi t + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ sin (4 \pi t + \frac{\pi}{6}) > 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow 4 \pi t + \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi }{6} + k2 \pi\\ \Rightarrow 4 \pi t = \frac{2 \pi}{3} + k2 \pi\\ \Rightarrow t = \frac{1}{6} + \frac{k}{2},\ (k \in Z; t > 0)\\ \Rightarrow t_{2016} = \frac{1}{6} + \frac{2015}{2} = \frac{6046}{6} = \frac{3023}{3}\)

Cách 2:
\(\left\{\begin{matrix} x = -1,5\sqrt{3}\\ v < 0 \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right. ; t = 0: \left\{\begin{matrix} x = 1,5\sqrt{3}\\ v < 0 \hspace{1cm} \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t_{2016} = t_1 + (2016 - 1).T\)
Với \(\left\{\begin{matrix} t_1 = \frac{T}{6} + \frac{T}{6} = \frac{T}{3} \\ T = \frac{2 \pi}{3} = \frac{1}{2}s \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\\ \Rightarrow t_{2016} = \left ( \frac{1}{3} + 2015 \right ).\frac{1}{2}\\ \Rightarrow t_{2016} = \frac{3023}{3}(s)\)