Dạng 6: Tính đạo hàm của hàm số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Sử dụng bảng các đạo hàm và bảng các quy tắc.
bảng tóm tắt đạo hàm.png

bảng các đạo hàm.png
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1:
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số):
a. y = $\frac{1}{4}$x$^4$ - $\frac{1}{3}$x$^3$ + $\frac{1}{2}$x$^2$ - x + a$^3$.
b. y = $\frac{1}{{{{({x^2} - x + 1)}^5}}}$.
Giải​
a. Ta có ngay:
y' = x$^3$ - x$^2$ + x - 1.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = (x$^2$ - x + 1)$^{-5}$ => y' = -5(2x - 1)(x$^2$ - x + 1)$^{-6}$ = -$\frac{{5(2x - 1)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^6}}}$.

Thí dụ 2 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $3{x^5}(8 - 3{x^2}).$
b. y = (x + 1)(x + 2)(x + 3).
Giải​
a. Ta có thể thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = 24x$^5$ - 9x$^7$.
Khi đó: y' = 120x$^4$ - 63x$^6$.
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích, ta có: y' = 15x$^4$(8 - 3x$^2$) - 3x$^5$.6x = 120x$^4$ - 63x$^6$.
b. Ta có thể thực hiện theo ba cách sau:
Cách 1: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v.w): Ta có:
y' = [(x + 1)(x + 2)(x + 3)]'
= (x + 1)'(x + 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 2)'(x + 3) + (x + 1)(x + 2)(x + 3)'
= 1.(x + 2)(x + 3) + (x + 1).1.(x + 3) + (x + 1)(x + 2).1
= 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 2: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v): Viết lại hàm số dưới dạng có:
y = (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)
suy ra: y' = [(x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)]' = (x$^2$ + 3x + 2)'(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)'
= (2x + 3)(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2).1 = 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 3: Viết lại hàm số dưới dạng có: y = x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6
suy ra: y' = (x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6)' = 3x$^2$ + 12x + 11.

Thí dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$.
b. y = $\frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}$.
Giải​
a. Ta có: y' = $\frac{{2({x^2} - 1) - 2x.2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$ = $\frac{{ - 2{x^2} - 2}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$.
b. Ta có: y' = $\frac{{5({x^2} + x + 1) - (2x + 1)(5x - 3)}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$ = $\frac{{ - 5{x^2} + 6x + 8}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$.

Thí dụ 4 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$.
b. y = x$^{2}$ + $x\sqrt x $ + 1.
Giải​
a. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$ = x$^{-3/2}$ => y' = -$\frac{3}{2}$x-5/2 = -$\frac{3}{{2{x^2}\sqrt x }}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng: y = x$^2$ + x$^{3/2}$ + 1 => y' = 2x + $\frac{3}{2}$x$^{1/2}$ = 2x + $\frac{3}{2}$$\sqrt x $.

Thí dụ 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\sqrt {2 - 5x - {x^2}} $.
b. y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $.
Giải​
a. Ta có ngay: $y' = \frac{{\left( {2 - 5x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }} = \frac{{ - 5 - 2x}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}$.
b. Ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
$y' = \frac{{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)'}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2}\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
= $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $
= ${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{1/2}}$
=> y' = $\frac{1}{2}$.$\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}$.${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{ - 1/2}}$ = $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.

Thí dụ 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}$.
b. y = $\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
Giải​
a. Ta có: y' = $\frac{{\sqrt {1 - x} + \frac{{1 + x}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}$ = $\frac{{3 - x}}{{(1 - x)\sqrt {1 - x} }}$.
b. Ta có: y' = $\frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}$ = $\frac{{{a^2}}}{{({a^2} - {x^2})\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
* Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y = |f(x)| trên miền E sao cho f(x) ≠ 0 ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
a. Viết lại hàm số dưới dạng y = $\sqrt {{f^2}(x)} $.
b. Ta được:
y’ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}$ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{|f(x)|}}$.
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) \ge 0\\ - f(x)\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}f'(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) > 0\\ - f'(x)\,\,\,\,voi\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.

Thí dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y = |x - 1| tại các điểm x ≠ 1.
Giải​
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\sqrt {{{(x - 1)}^2}} $.
Ta được: y’ = $\frac{{2(x - 1)'.(x - 1)}}{{2\sqrt {{{(x - 1)}^2}} }}$ = $\frac{{x - 1}}{{|x - 1|}}$ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\1 - x\,\,\,\,\,voi\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.

nguồn: 7scv
 
Sửa lần cuối: