Dạng 7: Xác định đặc tính K của đối tượng S khi nó thoả mãn một đẳng thức vectơ

Thí dụ 1:Cho ΔABC, có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn:
a.$\overrightarrow {GA} $ + b.$\overrightarrow {GB} $ + c.$\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow 0 $. (1)
Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều.
Ta có:
$\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ $\overrightarrow {GA} $ = -$\overrightarrow {GB} $ - $\overrightarrow {GC} $. (2)
Thay (2) vào (1), ta được:
a.(-$\overrightarrow {GB} $ - $\overrightarrow {GC} $) + b.$\overrightarrow {GB} $ + c.$\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow 0 $
⇔ (b - a).$\overrightarrow {GB} $ + (c - a).$\overrightarrow {GC} $ = $\overrightarrow 0 $. (3)
Vì $\overrightarrow {GB} $ và $\overrightarrow {GC} $ là hai vectơ không cùng phương, do đó (3) tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}b - a = 0\\c - a = 0\end{array} \right.$ ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC là tam giác đều.

Thí dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}|\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow {OD} |\\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$.
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Từ phương trình thứ nhất của hệ , ta suy ra:
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. (1)
Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA , từ phương trình thứ hai của hệ ta được:
$\overrightarrow 0 $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OD} $ = 2$\overrightarrow {OM} $ + 2$\overrightarrow {OP} $ ⇔ $\overrightarrow {OM} $ + $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow 0 $
⇔ M, P, O thẳng hàng và O là trung điểm MP. (2)
$\overrightarrow 0 $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OD} $ = 2$\overrightarrow {ON} $ + 2$\overrightarrow {OQ} $ ⇔ $\overrightarrow {ON} $ + $\overrightarrow {OQ} $ = $\overrightarrow 0 $
⇔ N, Q, O thẳng hàng và O là trung điểm NQ. (3)
Từ (2), (3), suy ra MNPQ là hình bình hành suy ra
 A, C, O thẳng hàng và O là trung điểm AC.
 B, D, O thẳng hàng và O là trung điểm BD.
Do đó ABCD là hình bình hành. (4)
Từ (1) và (4) suy ra ABCD là hình chữ nhật.