Dạng 9: Ứng dụng định lý Vi-et tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trước

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x$_1$, x$_2$<=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$.
  • Bước 2: Áp dụng định lí Viét, ta được:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = f(m)\\{x_1}.{x_2} = g(m)\end{array} \right.$. (I)
  • Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I).

Thí dụ 1. Cho phương trình 3x$^2$ - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Theo định lý Viét, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{2}{3}(m + 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$
Theo điều kiện đề bài, ta có: x$_1$ = 3x$_2$ (3)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện là: Δ' = (m + 1)$^2$ + 15 - 9m = m$^2$ - 7m + 16 > 0, ∀m ∈ R.
Từ (1) và (3), ta có: 4x$_2$ = $\frac{2}{3}$(m + 1) <=> x$_2$ = $\frac{{m + 1}}{6}$ (4)
Từ (3) và (4), ta có: x$_1$ = $\frac{{m + 1}}{2}$ (5)
Thay x$_1$, x$_2$ ở (5) và (4) vào (2), ta được:
$\frac{{m + 1}}{6}$.$\frac{{m + 1}}{2}$ = $\frac{{3m - 5}}{3}$ <=> (m + 1)2 = 4(3m - 5)
<=> m$^2$ - 10m + 21 = 0 <=> m = 3 ∨ m = 7.
Ta có:
  • Khi m = 3 thì x$_1$ = 2 và x$_2$ = $\frac{2}{3}$.
  • Khi m = 7 thì x$_1$ = 4 và x$_2$ = $\frac{4}{3}$.
Thí dụ 2. Cho phương trình: (m + 2)x$^2$-2(m-1)x + m-2 = 0.
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
b. Xác định m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 3.
c. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x$_1$, x$_2$ thoả mãn |x$_1$-x$_2$| = 2.
a. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là:
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}5 - 2m > 0\\\frac{{m - 2}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.$
<=> m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; $\frac{5}{2}$).
Vậy, với m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; $\frac{5}{2}$) phương trình thoả mãn điều kiện đề bài.

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$ <=> -2 ≠ m < $\frac{5}{2}$.
Khi đó, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{{m + 2}}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 2}}{{m + 2}}\end{array} \right.$.
Ta có: 3 = $x_1^2$ + $x_2^2$ = (x$_1$ + x$_2$)2 – 2x$_1$x$_2$ = $\frac{{4{{(m - 1)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}}$ – 2.$\frac{{m - 2}}{{m + 2}}$
<=> m$^2$ + 20m = 0 <=> m = 0 hoặc m = – 20.
Vậy, có hai giá trị của m phương trình thoả mãn điều kiện.

c. Ta có: |x$_1$-x$_2$| = 2 <=> (x$_1$-x$_2$)2 = 4 <=> (x$_1$ +x$_2$)2 – 4x$_1$x$_2$ = 4
<=> $\frac{{4{{(m - 1)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}}$ – 4$\frac{{m - 2}}{{m + 2}}$ = 4 <=> 4(m – 1)2 – 4(m–2)(m + 2) = 4(m + 2)2
<=> m$^2$ + 6m – 1 = 0 <=> m = –3 ± $\sqrt {10} $.
Vậy, với m = –3 ± $\sqrt {10} $ thoả mãn đề bài.

Thí dụ 3. Tìm m để phương trình x$^2$ + 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm x$_1$, x$_2$. Khi đó:
a. Tính theo m giá trị các biểu thức E = $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $, F = $\sqrt[4]{{{x_1}}} + \sqrt[4]{{{x_2}}}$.
b. Xác định m sao cho $x_1^4 + x_2^4$ ≤ 32.
c. Xác định m sao cho ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$≥ 3.
Điều kiện để phương trình có nghiệm Δ' ≥ 0 <=> m$^2$ – 4 > 0 <=> |m| > 2. (*)
Khi đó, ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}.{x_2} = 4\end{array} \right.$.
a. Ta có:
E$^2$ = ${\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2}$ = x$_1$ + x$_2$ + 2$\sqrt {{x_1}{x_2}} $
= –2m + 2.2 = 4 – 2m > 0 với (*) suy ra m < -2
=> E = $\sqrt {4 - 2m} $.
F$^2$ = ${\left( {\sqrt[4]{{{x_1}}} + \sqrt[4]{{{x_2}}}} \right)^2}$ = $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $ + 2$\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}}}$ = $\sqrt {4 - 2m} $ + 2$\sqrt[4]{4}$
=> F = $\sqrt {\sqrt {4 - 2m} + 2\sqrt[4]{4}} $.

b. Ta có:
$x_1^4 + x_2^4$ = ${\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2}$ – 2$x_1^2x_2^2$ = ${\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2}$ – 2$x_1^2x_2^2$
Do đó: $x_1^4 + x_2^4$ ≤ 32 <=> (m$^2$ – 2.4) – 2.4$^2$ ≤ 32 <=> m$^2$ – 40 ≤ 32
<=> m$^2$ ≤ 72 <=> |m| ≤ 6$\sqrt 2 $.
Kết hợp với điều kiện (*), ta được: $\left[ \begin{array}{l} - 6\sqrt 2 \le m < - 2\\2 < m \le 6\sqrt 2 \end{array} \right.$.

c. Ta có: ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$
= $\frac{{x_1^2x_1^2 + x_2^2x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}}$ = $\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}$.
Do đó: ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$≥ 3
<=> $\frac{{{m^2} - 40}}{{16}}$ ≥ 3 <=> m$^2$ ≥ 88 <=> |m| ≥ $2\sqrt {22} $, thoả mãn (*).
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao