Dạng toán 1: Tìm quỹ tích điểm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Bài toán: Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ). Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi .
Cách giải​
Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN
Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N

Ví dụ 1. ( bài toán 2-tr17-HH11NC).
Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \). Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) .
Giải​
Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) , suy ra : \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MI} \). Có nghĩa là I là trung điểm của MM’
Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó \({D_I}:M \to M'\) . Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)
Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R .

Ví dụ 2. ( Bài 17-tr19-HH11NC).
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và một điểm A thay đổi tren đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . ( Hay : tìm quỹ tích của H khi A thay đổi ).
Giải​
Vẽ hình theo giả thiết cho . Nối đường kính AM , tìm vị trí của H . Ta thấy CH ∟AB và MB∟AB suy ra CH//BM . Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , do đoa hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC .
Do B,C cố định cho nên I cố định . Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác M chạy trên (O;R) do đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I .

Ví dụ 3. ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) .
Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a?
Giải​
- Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc \(\angle AGC = \angle AGB = {120^0}\). Như vậy phép quay tâm G với góc quay \(\varphi = {120^0}\) bién A thành C và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay \(\varphi = {120^0}\).

Ví dụ 4. ( Bài 35-tr10-BTHH11NC).
Cho đường tròn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng với M qua A, \({M_2}\) là điểm đối xứng với \({M_1}\) qua B và \({M_3}\) là điểm đối xứng với \({M_2}\) qua C . Tìm quỹ tích điểm \({M_3}\) ?
Giải​
- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có : Do\({M_1}\), \({M_2}\) đối xứng nhau qua B cho nên \(B{M_1} = B{M_2}\quad \left( 1 \right)\)
- Vì \({M_2}\)và \({M_3}\) đối xứng nhau qua C cho nên : \(C{M_2} = C{M_3}\) (2) . Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình của tam giác \({M_1}{M_2}{M_3}\), có nghĩa là BC//\({M_1}{M_3}\) (3) .
- Gọi D là trung điểm của M\({M_3}\) thì AD là đường trung bình của tam giác \(M{M_1}{M_3} \Rightarrow A{\rm{D}}//{M_1}{M_3}\) (4) . Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành . Có nghĩa là D cố định. Như vậy : \({D_D}:M \to {M_3}\). Mà M chạy trên (O) cho nên \({M_3}\)
Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D .