Phương pháp áp dụng
Giả sử cần xác định giới hạn: L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $Q(x), ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định một hàm f(x) => f(x$_0$). Xác định f’(x) => f’(x$_0$).
Bước 2: Khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng: L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ = f ’(x$_0$)
hoặc L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.P(x) = f ’(x$_0$) .P(x$_0$) với P(x$_0$) ≠ ∞
hoặc L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}}}{{\frac{{g(x) - g({x_0})}}{{x - {x_0}}}}}$ = $\frac{{f'({x_0})}}{{g'({x_0})}}$ với g’(x$_0$) ≠ 0.
Thí dụ 1 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$.
Ta có: f(1) = 0, f’(x) = 2x => f’(1) = 2.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = f’(1) = 2.
Thí dụ 2: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$.
Cách 1: (Sử dụng một hàm số): Đặt f(x) = $\sqrt {x + 8} $ - 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 8} }}$ => f ’(1) = $\frac{1}{6}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 3}}$ = f ’(1).$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{{24}}$.
Cách 2: (Sử dụng hai hàm số): Đặt f(x) = $\sqrt {x + 8} $ - 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 8} }}$ => f ’(1) = $\frac{1}{6}$.
Đặt g(x) = x$^2$ + 2x - 3, ta có g(1) = 0 và g'(x) = 2x + 2 và g ’(1) = 4.
Khi đó:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}}{{\frac{{g(x) - g(1)}}{{x - 1}}}}$ = $\frac{{f'(1)}}{{g'(1)}}$ = $\frac{1}{{24}}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần:
Thực hiện phép nhân liên hợp cho $\sqrt {x + 8} $ - 3 là $\sqrt {x + 8} $ + 3.
Thực hiện phép phân tích x$^2$ + 2x - 3 = (x - 1)(x + 2).
Thí dụ 3 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}$.
f(2) = 0, f’(x) = $\frac{4}{{3\sqrt[3]{{16{x^2}}}}}$ => f’(2) = $\frac{1}{3}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = f’(2) = $\frac{1}{3}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần thực hiện phép nhận liên hợp cho $\sqrt[3]{{4x}}$ - 2 là ($\sqrt[3]{{4x}}$)$^2$ + 2$\sqrt[3]{{4x}}$ + 4.
Thí dụ 4: (ĐHQG - 98): Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$.
f '(x) = 3x$^2$ - $\frac{3}{{2\sqrt {3x - 2} }}$ => f '(1) = $\frac{3}{2}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\frac{3}{2}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Thực hiện ngay phép nhân liên hợp, ta được:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^6} - 3x + 2}}{{(x - 1)({x^3} + \sqrt {3x - 2} )}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x - 2}}{{{x^3} + \sqrt {3x - 2} }}$ = $\frac{3}{2}$.
Cách 2: Sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng, ta được:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{1 - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$({x^2} + x + 1)$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{3 - 3x}}{{(x - 1)(1 + \sqrt {3x - 2} )}}$= $\frac{3}{2}$.
Các ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phương pháp còn chưa nêu nên được tính tiện lợi của phương pháp. Ta tiếp tục xém xét các ví dụ sau:
Thí dụ 5 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$.
f '(x) = -$\frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}$ - $\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{({x^2} + 7)}^2}}}}}$ => f '(1) = -$\frac{{11}}{{12}}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 1}}$ = f’(1).$\frac{1}{2}$ = -$\frac{{11}}{{24}}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên, ta cần sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - 2}}{{{x^2} - 1}}$ - $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 7}} - 2}}{{{x^2} - 1}}$
Sau đó, có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Sử dụng phép nhân liên hợp.
Cách 2: Sử dụng kết quả:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x}$ = $\frac{a}{n}$.
được chứng minh bằng cách đặt ẩn phụ t = $\sqrt[n]{{1 + ax}}$.
Thí dụ 6 : (ĐHSP II/Khối A - 99): Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[5]{{x - 2}}}}{{x - 1}}$.
f '(x) = $\frac{1}{{2\sqrt[4]{{{{(2x - 1)}^3}}}}}$ + $\frac{1}{{5\sqrt[5]{{{{(2x - 1)}^4}}}}}$ => f '(1) = $\frac{7}{{10}}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[5]{{x - 2}}}}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\frac{7}{{10}}$.
Thí dụ 7: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{({x^2} + 2001)\sqrt[7]{{1 - 2x}} - 2001}}{x}$.
f '(x) = 2x$\sqrt[7]{{1 - 2x}}$ - $\frac{{2({x^2} + 2001)}}{{7\sqrt[7]{{{{(1 - 2x)}^6}}}}}$ => f '(0) = - $\frac{{4002}}{7}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{({x^2} + 2001)\sqrt[7]{{1 - 2x}} - 2001}}{x}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = f’(0) = - $\frac{{4002}}{7}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x) = x2 + 2001 vào tử thức làm xuất hiện giới hạn dạng: $\frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x}$.
Giả sử cần xác định giới hạn: L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $Q(x), ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định một hàm f(x) => f(x$_0$). Xác định f’(x) => f’(x$_0$).
Bước 2: Khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng: L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ = f ’(x$_0$)
hoặc L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.P(x) = f ’(x$_0$) .P(x$_0$) với P(x$_0$) ≠ ∞
hoặc L = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}}}{{\frac{{g(x) - g({x_0})}}{{x - {x_0}}}}}$ = $\frac{{f'({x_0})}}{{g'({x_0})}}$ với g’(x$_0$) ≠ 0.
Thí dụ 1 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$.
Giải
Đặt f(x) = x$^2$ - 1.Ta có: f(1) = 0, f’(x) = 2x => f’(1) = 2.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = f’(1) = 2.
Thí dụ 2: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$.
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:Cách 1: (Sử dụng một hàm số): Đặt f(x) = $\sqrt {x + 8} $ - 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 8} }}$ => f ’(1) = $\frac{1}{6}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 3}}$ = f ’(1).$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{{24}}$.
Cách 2: (Sử dụng hai hàm số): Đặt f(x) = $\sqrt {x + 8} $ - 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 8} }}$ => f ’(1) = $\frac{1}{6}$.
Đặt g(x) = x$^2$ + 2x - 3, ta có g(1) = 0 và g'(x) = 2x + 2 và g ’(1) = 4.
Khi đó:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{{x^2} + 2x - 3}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}}}{{\frac{{g(x) - g(1)}}{{x - 1}}}}$ = $\frac{{f'(1)}}{{g'(1)}}$ = $\frac{1}{{24}}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần:
Thực hiện phép nhân liên hợp cho $\sqrt {x + 8} $ - 3 là $\sqrt {x + 8} $ + 3.
Thực hiện phép phân tích x$^2$ + 2x - 3 = (x - 1)(x + 2).
Thí dụ 3 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}$.
Giải
Đặt f(x) = $\sqrt[3]{{4x}}$ - 2, ta có:f(2) = 0, f’(x) = $\frac{4}{{3\sqrt[3]{{16{x^2}}}}}$ => f’(2) = $\frac{1}{3}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} $$\frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = f’(2) = $\frac{1}{3}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần thực hiện phép nhận liên hợp cho $\sqrt[3]{{4x}}$ - 2 là ($\sqrt[3]{{4x}}$)$^2$ + 2$\sqrt[3]{{4x}}$ + 4.
Thí dụ 4: (ĐHQG - 98): Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$.
Giải
Đặt f(x) = x$^3$ - $\sqrt {3x - 2} $, ta có f(1) = 0,f '(x) = 3x$^2$ - $\frac{3}{{2\sqrt {3x - 2} }}$ => f '(1) = $\frac{3}{2}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\frac{3}{2}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Thực hiện ngay phép nhân liên hợp, ta được:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^6} - 3x + 2}}{{(x - 1)({x^3} + \sqrt {3x - 2} )}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x - 2}}{{{x^3} + \sqrt {3x - 2} }}$ = $\frac{3}{2}$.
Cách 2: Sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng, ta được:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{1 - \sqrt {3x - 2} }}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$({x^2} + x + 1)$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{3 - 3x}}{{(x - 1)(1 + \sqrt {3x - 2} )}}$= $\frac{3}{2}$.
Các ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phương pháp còn chưa nêu nên được tính tiện lợi của phương pháp. Ta tiếp tục xém xét các ví dụ sau:
Thí dụ 5 :Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$.
Giải
Đặt f(x) = $\sqrt {5 - {x^3}} $ - $\sqrt[3]{{{x^2} + 7}}$, ta có f(1) = 0,f '(x) = -$\frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}$ - $\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{({x^2} + 7)}^2}}}}}$ => f '(1) = -$\frac{{11}}{{12}}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 1}}$ = f’(1).$\frac{1}{2}$ = -$\frac{{11}}{{24}}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên, ta cần sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - 2}}{{{x^2} - 1}}$ - $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 7}} - 2}}{{{x^2} - 1}}$
Sau đó, có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Sử dụng phép nhân liên hợp.
Cách 2: Sử dụng kết quả:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x}$ = $\frac{a}{n}$.
được chứng minh bằng cách đặt ẩn phụ t = $\sqrt[n]{{1 + ax}}$.
Thí dụ 6 : (ĐHSP II/Khối A - 99): Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[5]{{x - 2}}}}{{x - 1}}$.
Giải
Đặt f(x) = $\sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[5]{{x - 2}}$, ta có f(1) = 0,f '(x) = $\frac{1}{{2\sqrt[4]{{{{(2x - 1)}^3}}}}}$ + $\frac{1}{{5\sqrt[5]{{{{(2x - 1)}^4}}}}}$ => f '(1) = $\frac{7}{{10}}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{\sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[5]{{x - 2}}}}{{x - 1}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} $$\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\frac{7}{{10}}$.
Thí dụ 7: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{({x^2} + 2001)\sqrt[7]{{1 - 2x}} - 2001}}{x}$.
Giải
Đặt f(x) = (x$^2$ + 2001)$\sqrt[7]{{1 - 2x}}$ - 2001, ta có f(0) = 0,f '(x) = 2x$\sqrt[7]{{1 - 2x}}$ - $\frac{{2({x^2} + 2001)}}{{7\sqrt[7]{{{{(1 - 2x)}^6}}}}}$ => f '(0) = - $\frac{{4002}}{7}$.
Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{({x^2} + 2001)\sqrt[7]{{1 - 2x}} - 2001}}{x}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = f’(0) = - $\frac{{4002}}{7}$.
* Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phương pháp thông thường, ta cần sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x) = x2 + 2001 vào tử thức làm xuất hiện giới hạn dạng: $\frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x}$.
Nguồn: Học Lớp