Thí dụ 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a. y = $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$, biết hoành độ tiếp điểm là x$_0$ = 0.
b. y = $\sqrt {x + 2} $, biết tung độ tiếp điểm là y$_0$ = 2.
Tại điểm có hoành độ x$_0$ = 0 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(0) = y'(0)(x - 0) <=> (d): y = 2x - 1.
b. Trước tiên, ta đi tính đạo hàm: y' = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}$.
Tại điểm có tung độ y$_0$ = 2, ta lần lượt có:
* Hoành độ tiếp điểm được cho bởi: $\sqrt {x + 2} $ = 2 <=> x + 2 = 4 <=> x = 2.
* Phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(2) = y'(2)(x - 2) <=> (d): y = $\frac{1}{4}$x + $\frac{3}{2}$.
Thí dụ 2: Cho hai hàm số y = $\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ và y = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
$\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^3} = 1\end{array} \right.$ <=> x = 1.
* Với đồ thị hàm số y = $\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ ta có y' = -$\frac{1}{{{x^2}\sqrt 2 }}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hành độ x = 1 có dạng:
(d1): y - y'(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d1): y = -$\frac{1}{{\sqrt 2 }}$x + $\sqrt 2 $.
* Với đồ thị hàm số y = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$ ta có y' = $\frac{{2x}}{{\sqrt 2 }}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hành độ x = 1 có dạng:
(d2): y - y'(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d2): y = x$\sqrt 2 $ - $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Nhận xét rằng \({k_{({d_1})}}.{k_{({d_2})}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\) nên hai tiếp tuyến (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
Thí dụ 3:Cho Parabol (P): y = x$^2$. Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P) lần lượt có hoành độ x1 = -2 và x2 = 1. Hãy tìm trên (P) một điển C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Gọi k là hệ số góc của cát tuyến M1M2 với Parabol (P), ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
= $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = $\frac{{{{( - 2)}^2} - {1^2}}}{{ - 2 - 1}}$ = -1.
M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ bằng a, khi đó:
* Để tiếp tuyến tại M song song với cát tuyến M1M2 điều kiện là: y'(a) = -1 <=> 2a = -1 <=> a = -$\frac{1}{2}$.
* Tại M(-$\frac{1}{2}$;$\frac{1}{4}$) phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - $\frac{1}{4}$ = -(x + $\frac{1}{2}$) <=> (d): y = -x - $\frac{1}{4}$.
Thí dụ 4: Cho hàm số (C): y = x$^3$ - 3x$^2$ + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): 3x - 5y - 4 = 0.
Do đó, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: y’.$\frac{3}{5}$ = - 1
<=> 3x$^2$ - 6x = - $\frac{5}{3}$
<=> 9x$^2$ - 18x + 5 = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1/3\\x = 5/3\end{array} \right.$.
* Với x = $\frac{1}{3}$, ta được tiếp tuyến (d1) có dạng: (d1): y = - $\frac{5}{3}$(x - $\frac{1}{3}$) + y($\frac{1}{3}$)
<=> (d1): y = - $\frac{5}{3}$x + $\frac{{61}}{{27}}$.
* Với x = $\frac{5}{3}$, ta được tiếp tuyến (d1) có dạng: (d2): y = - $\frac{5}{3}$(x - $\frac{5}{3}$) + y($\frac{5}{3}$)
<=> (d2): y = - $\frac{5}{3}$x - $\frac{{31}}{{27}}$.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của Parabol y = x$^2$, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; -1).
Giả sử hoành độ tiếp điểm là x$_0$, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d): y - y(x$_0$) = y'(x$_0$)(x - x$_0$) <=> (d): y - $x_0^2$ = 2x$_0$(x - x$_0$). (*)
Vì điểm A(0; -1) ∈ (d) nên:
-1 - $x_0^2$ = 2x$_0$(-x$_0$) <=> $x_0^2$ = 1 <=> x$_0$ = ±1.
Khi đó:
* Với x$_0$ = 1, ta được tiếp tuyến có phương trình: (d1): y – 1$^2$ = 2(x - 1) <=> (d1): y = 2x - 1.
* Với x$_0$ = -1, ta được tiếp tuyến có phương trình: (d2): y - (-1)$^2$ = 2(-1)(x + 1) <=> (d2): y = -2x - 1.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 6: Cho hàm số y = cos$^2$x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1.
b. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm có các hoành độ x = -$\frac{\pi }{4}$ và x = $\frac{\pi }{3}$ song song hoặc trùng nhau.
a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1 điều kiện là:
y'(π) = 1 <=> -sin2π + mcosπ = 1 <=> m = -1.
Vậy, với m = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm có các hoành độ x = -$\frac{\pi }{4}$ và x = $\frac{\pi }{3}$ có hệ số góc bằng:
k1 = y'(-$\frac{\pi }{4}$) = -sin(-$\frac{\pi }{2}$) + mcos(-$\frac{\pi }{4}$) = 1 + $\frac{{m\sqrt 2 }}{2}$,
k2 = y'($\frac{\pi }{3}$) = -sin$\frac{{2\pi }}{3}$ + mcos$\frac{\pi }{3}$ = -$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ + $\frac{m}{2}$.
Để hai tiếp tuyến song song hoặc trùng nhau điều kiện là:
k1 = k2 <=> 1 + $\frac{{m\sqrt 2 }}{2}$ = -$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ + $\frac{m}{2}$ <=> ($\sqrt 2 $ - 1)m = -$\sqrt 3 $ - 1 <=> m = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 2 }}$.
Vậy, với m = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 2 }}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 7: Tìm giao điểm của hai đường cong (P): y = x$^2$ - x + 1 và (H): y = $\frac{1}{{x + 1}}$. Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
<=> $\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}$ = 0
=> x$^3$ = 0 <=> x = 0 => A(0; 1).
Vậy, hai đồ thị (P) và (H) cắt nhau tại điểm A(0; 1).
Ta lần lượt có:
* Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A có dạng: (d1): y - 1 = y’$_{(P)}$(0).x <=> (d1): y = -x + 1.
* Phương trình tiếp tuyến của (H) tại A có dạng: (d2): y - 1 = y’$_{(H)}$(0).x <=> (d2): y = -x + 1.
Nhận thấy (d1) ≡ (d2), tức là (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A.
Nguồn: Học Lớp
a. y = $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$, biết hoành độ tiếp điểm là x$_0$ = 0.
b. y = $\sqrt {x + 2} $, biết tung độ tiếp điểm là y$_0$ = 2.
Giải
a. Trước tiên, ta đi tính đạo hàm: y' = $\frac{{x + 1 - (x - 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ = $\frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$.Tại điểm có hoành độ x$_0$ = 0 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(0) = y'(0)(x - 0) <=> (d): y = 2x - 1.
b. Trước tiên, ta đi tính đạo hàm: y' = $\frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}$.
Tại điểm có tung độ y$_0$ = 2, ta lần lượt có:
* Hoành độ tiếp điểm được cho bởi: $\sqrt {x + 2} $ = 2 <=> x + 2 = 4 <=> x = 2.
* Phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(2) = y'(2)(x - 2) <=> (d): y = $\frac{1}{4}$x + $\frac{3}{2}$.
Thí dụ 2: Cho hai hàm số y = $\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ và y = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị của mỗi hàm số được cho bởi:$\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^3} = 1\end{array} \right.$ <=> x = 1.
* Với đồ thị hàm số y = $\frac{1}{{x\sqrt 2 }}$ ta có y' = -$\frac{1}{{{x^2}\sqrt 2 }}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hành độ x = 1 có dạng:
(d1): y - y'(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d1): y = -$\frac{1}{{\sqrt 2 }}$x + $\sqrt 2 $.
* Với đồ thị hàm số y = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 2 }}$ ta có y' = $\frac{{2x}}{{\sqrt 2 }}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hành độ x = 1 có dạng:
(d2): y - y'(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d2): y = x$\sqrt 2 $ - $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Nhận xét rằng \({k_{({d_1})}}.{k_{({d_2})}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\) nên hai tiếp tuyến (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
Thí dụ 3:Cho Parabol (P): y = x$^2$. Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P) lần lượt có hoành độ x1 = -2 và x2 = 1. Hãy tìm trên (P) một điển C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải
Trước tiên, ta có: y' = 2x.Gọi k là hệ số góc của cát tuyến M1M2 với Parabol (P), ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
= $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = $\frac{{{{( - 2)}^2} - {1^2}}}{{ - 2 - 1}}$ = -1.
M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ bằng a, khi đó:
* Để tiếp tuyến tại M song song với cát tuyến M1M2 điều kiện là: y'(a) = -1 <=> 2a = -1 <=> a = -$\frac{1}{2}$.
* Tại M(-$\frac{1}{2}$;$\frac{1}{4}$) phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - $\frac{1}{4}$ = -(x + $\frac{1}{2}$) <=> (d): y = -x - $\frac{1}{4}$.
Thí dụ 4: Cho hàm số (C): y = x$^3$ - 3x$^2$ + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): 3x - 5y - 4 = 0.
Giải
Ta có: y’ = 3x$^2$ - 6x và hệ số góc của đường thẳng (Δ) bằng $\frac{3}{5}$.Do đó, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: y’.$\frac{3}{5}$ = - 1
<=> 3x$^2$ - 6x = - $\frac{5}{3}$
<=> 9x$^2$ - 18x + 5 = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1/3\\x = 5/3\end{array} \right.$.
* Với x = $\frac{1}{3}$, ta được tiếp tuyến (d1) có dạng: (d1): y = - $\frac{5}{3}$(x - $\frac{1}{3}$) + y($\frac{1}{3}$)
<=> (d1): y = - $\frac{5}{3}$x + $\frac{{61}}{{27}}$.
* Với x = $\frac{5}{3}$, ta được tiếp tuyến (d1) có dạng: (d2): y = - $\frac{5}{3}$(x - $\frac{5}{3}$) + y($\frac{5}{3}$)
<=> (d2): y = - $\frac{5}{3}$x - $\frac{{31}}{{27}}$.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của Parabol y = x$^2$, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; -1).
Giải
Trước tiên, ta đi tính đạo hàm: y' = 2x.Giả sử hoành độ tiếp điểm là x$_0$, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d): y - y(x$_0$) = y'(x$_0$)(x - x$_0$) <=> (d): y - $x_0^2$ = 2x$_0$(x - x$_0$). (*)
Vì điểm A(0; -1) ∈ (d) nên:
-1 - $x_0^2$ = 2x$_0$(-x$_0$) <=> $x_0^2$ = 1 <=> x$_0$ = ±1.
Khi đó:
* Với x$_0$ = 1, ta được tiếp tuyến có phương trình: (d1): y – 1$^2$ = 2(x - 1) <=> (d1): y = 2x - 1.
* Với x$_0$ = -1, ta được tiếp tuyến có phương trình: (d2): y - (-1)$^2$ = 2(-1)(x + 1) <=> (d2): y = -2x - 1.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 6: Cho hàm số y = cos$^2$x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1.
b. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm có các hoành độ x = -$\frac{\pi }{4}$ và x = $\frac{\pi }{3}$ song song hoặc trùng nhau.
Giải
Trước tiên, ta có: y' = -2sinx.cosx + mcosx = -sin2x + mcosx.a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1 điều kiện là:
y'(π) = 1 <=> -sin2π + mcosπ = 1 <=> m = -1.
Vậy, với m = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm có các hoành độ x = -$\frac{\pi }{4}$ và x = $\frac{\pi }{3}$ có hệ số góc bằng:
k1 = y'(-$\frac{\pi }{4}$) = -sin(-$\frac{\pi }{2}$) + mcos(-$\frac{\pi }{4}$) = 1 + $\frac{{m\sqrt 2 }}{2}$,
k2 = y'($\frac{\pi }{3}$) = -sin$\frac{{2\pi }}{3}$ + mcos$\frac{\pi }{3}$ = -$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ + $\frac{m}{2}$.
Để hai tiếp tuyến song song hoặc trùng nhau điều kiện là:
k1 = k2 <=> 1 + $\frac{{m\sqrt 2 }}{2}$ = -$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ + $\frac{m}{2}$ <=> ($\sqrt 2 $ - 1)m = -$\sqrt 3 $ - 1 <=> m = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 2 }}$.
Vậy, với m = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 2 }}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 7: Tìm giao điểm của hai đường cong (P): y = x$^2$ - x + 1 và (H): y = $\frac{1}{{x + 1}}$. Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
Giải
Hoành dộ giao điểm là nghiệm của phương trình: x2 - x + 1 = $\frac{1}{{x + 1}}$<=> $\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}$ = 0
=> x$^3$ = 0 <=> x = 0 => A(0; 1).
Vậy, hai đồ thị (P) và (H) cắt nhau tại điểm A(0; 1).
Ta lần lượt có:
* Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A có dạng: (d1): y - 1 = y’$_{(P)}$(0).x <=> (d1): y = -x + 1.
* Phương trình tiếp tuyến của (H) tại A có dạng: (d2): y - 1 = y’$_{(H)}$(0).x <=> (d2): y = -x + 1.
Nhận thấy (d1) ≡ (d2), tức là (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A.
Nguồn: Học Lớp