Dạng toán 3: Chứng minh tính vuông góc - Thiết lập điều kiện vuông góc

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta dùng định lý: $\vec a$⊥$\vec b$ ⇔ $\vec a$.$\vec b$ = 0
⇔ |$\vec a$|.|$\vec b$|.cos($\vec a$,$\vec b$) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \\\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 0\end{array} \right.$.
Ngoài ra, ta còn sử dụng các tính chất của tích vô hướng.
Chú ý: Nếu $\vec a$(a$_1$, a$_2$) và $\vec b$(b$_1$, b$_2$) thì điều kiện $\vec a$⊥$\vec b$ ⇔ a$_1$.b$_1$ + a$_2$.b$_2$ = 0.

Thí dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB⊥CD khi và chỉ khi: AC$^2$ + BD$^2$ = AD$^2$ + BC$^2$. (1)
Biến đổi (1) về dạng:
0 = ($\overrightarrow {AC} $$^2$ - $\overrightarrow {BC} $$^2$) + ($\overrightarrow {BD} $$^2$ - $\overrightarrow {AD} $$^2$)
= ($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {BC} $)($\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BC} $) + ($\overrightarrow {BD} $ - $\overrightarrow {AD} $)($\overrightarrow {BD} $ + $\overrightarrow {AD} $)
= $\overrightarrow {AB} $($\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BC} $) + $\overrightarrow {BA} $($\overrightarrow {BD} $ + $\overrightarrow {AD} $)
= $\overrightarrow {AB} $($\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BC} $ - $\overrightarrow {BD} $ - $\overrightarrow {AD} $) = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {DC} $⇔ AB ⊥ CD.

Thí dụ 2 Cho ΔABC vuông tại A, gọi M là trung điểm BC. Lấy các điểm B$_1$, C$_1$ trên AB và AC sao cho AB.AB$_1$ = AC.AC$_1$. Chứng minh rằng AM ⊥ B$_1$C$_1$.
Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {A{B_1}} $ = $\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {A{C_1}} $.
Ta có: $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {{B_1}{C_1}} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $)($\overrightarrow {A{C_1}} $ - $\overrightarrow {A{B_1}} $)
= $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {A{C_1}} $ - $\overrightarrow {AB} $$\overrightarrow {A{B_1}} $ + $\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {A{C_1}} $ - $\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {A{B_1}} $) = 0
⇔ AM ⊥ B$_1$C$_1$.

Thí dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b, đường cao AB = h. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho:
tích vô hướng hai vector.png
a. BD⊥CI, với I là trung điểm của AB.
b. AC⊥DI.
c. BM⊥CN, với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
a. Ta có: BD ⊥ CI ⇔ $\overrightarrow {BD} $.$\overrightarrow {CI} $ = 0
⇔ 0 = ($\overrightarrow {AD} $ - $\overrightarrow {AB} $).$\overrightarrow {CI} $ = $\overrightarrow {AD} $.$\overrightarrow {CI} $ - $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {CI} $ = $\overrightarrow {AD} $.$\overrightarrow {{C_1}A} $ - $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BI} $ = -ab + h.$\frac{h}{2}$⇔ h$^2$ = 2ab.

b. Ta có: AC ⊥ DI ⇔ $\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {DI} $ = 0
⇔ 0 = ($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $).$\overrightarrow {DI} $ = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {DI} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {DI} $ = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AI} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {{D_1}B} $ = h.$\frac{h}{2}$ - ba⇔ h$^2$ = 2ab.

c. Ta có: BM ⊥ CN ⇔ $\overrightarrow {BM} $.$\overrightarrow {CN} $ = 0 ⇔ 0 = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {BC} $).$\frac{1}{2}$($\overrightarrow {CB} $ + $\overrightarrow {CD} $)⇔ 0 = ($\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {BC} $).($\overrightarrow {CB} $ + $\overrightarrow {CD} $)
= $\overrightarrow {BA} $.$\overrightarrow {CB} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CB} $ + $\overrightarrow {BA} $.$\overrightarrow {CD} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CD} $
= - $\overrightarrow {BC} $$^2$ + $\overrightarrow {BA} $.$\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {C{D_1}} $ = - b$^2$ + h$^2$ - b(b - a) = -$^2$b$^2$ + h$^2$ + ab⇔ h$^2$ = $^2$b$^2$ - ab..
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác