Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp $\left( {SBC} \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc \({60^0}\). Diện tích tam giác SBC tính theo A là:
A. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\).
C. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.
D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{3}\).
Xem thêm kiến thức căn bản về tính diện tích tam giác
A. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\).
C. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.
D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{3}\).
+ Do thiết diện đi qua trục là tam giác \(\Delta SAB\) vuông cân tại đỉnh S, có cạnh huyền \(AB = a\sqrt 2 \) nên suy ra bán kính đáy hình nón là \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ; đường sinh hình nón \(l = SA = SB = a\); đường cao hình nón \(h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
+ Gọi I là trung điểm \(BC\) thì \(OI \bot BC\) (1)
Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOI) \Rightarrow BC \bot SI\) (2)
Gọi (α) là mặt phẳng chứa đáy thì \((\alpha ) \cap (SBC) = BC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {\left( {(\alpha ),(SBC)} \right)} = \widehat {(SI,OI)} = \widehat {SIO} = {60^0}\).
Xét tam giác \(SOI\) vuông tại O, ta có: \(SI = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SIO}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác \(SIB\) vuông tại I , ta có: \(IB = \sqrt {S{B^2} - S{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow BC = 2IB = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích thiết diện \(SBC\) là: \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\) (đvdt).
+ Gọi I là trung điểm \(BC\) thì \(OI \bot BC\) (1)
Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOI) \Rightarrow BC \bot SI\) (2)
Gọi (α) là mặt phẳng chứa đáy thì \((\alpha ) \cap (SBC) = BC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {\left( {(\alpha ),(SBC)} \right)} = \widehat {(SI,OI)} = \widehat {SIO} = {60^0}\).
Xét tam giác \(SOI\) vuông tại O, ta có: \(SI = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SIO}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác \(SIB\) vuông tại I , ta có: \(IB = \sqrt {S{B^2} - S{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow BC = 2IB = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích thiết diện \(SBC\) là: \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\) (đvdt).
Sửa lần cuối: