Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( { - 3;3; - 3} \right)$thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x--2y + z + 15 = 0\)và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\). Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) tại A ,
B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
A. $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$.
B. $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{6}$.
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 5t\\y = 3\\z = - 3 + 8t\end{array} \right.$.
D. $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{ - 11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{10}}$.
B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
A. $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$.
B. $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{6}$.
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 5t\\y = 3\\z = - 3 + 8t\end{array} \right.$.
D. $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{ - 11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{10}}$.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2;3;5} \right)\), bán kính \(R = 10\). Do \(d(I,(\alpha )) < R\) nên ∆ luôn cắt $\left( {\rm{S}} \right)$ tại A ,B.
Khi đó $AB = \sqrt {{R^2} - {{\left( {d(I,\Delta )} \right)}^2}} $. Do đó, $AB$nhỏ nhất thì $d\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)$ lớn nhất nên ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với \(AI\). Do đó ∆ có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = (16;11; - 10)\)
Vậy, phương trình của $\Delta :\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$.
Khi đó $AB = \sqrt {{R^2} - {{\left( {d(I,\Delta )} \right)}^2}} $. Do đó, $AB$nhỏ nhất thì $d\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)$ lớn nhất nên ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với \(AI\). Do đó ∆ có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = (16;11; - 10)\)
Vậy, phương trình của $\Delta :\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$.