Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( { - 3;3; - 3} \right)$thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x--2y + z + 15 = 0\)và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\). Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) tại A ,
B. Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
A. $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{6}$.
B. $\frac{{x + 3}}{{16}} = \frac{{y - 3}}{{11}} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{{ - 10}}$.
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 5t\\y = 3\\z = - 3 + 8t\end{array} \right.$.
D. $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{3}$.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2;3;5} \right)\), bán kính \(R = 10\). Do \(d(I,(\alpha )) < R\) nên ∆ luôn cắt $\left( {\rm{S}} \right)$ tại A ,B.
Khi đó $AB = \sqrt {{R^2} - {{\left( {d(I,\Delta )} \right)}^2}} $. Do đó, $AB$lớn nhất thì $d\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)$ nhỏ nhất nên ∆ qua \(H\), với \(H\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\). Phương trình \(BH:\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 2 + 2{\rm{t}}\\{\rm{y}} = 3 - 2t\\{\rm{z}} = 5 + {\rm{t}}\end{array} \right.\)
$H \in (\alpha ) \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( {3--2t} \right) + 5 + t + 15 = 0$\( \Leftrightarrow {\rm{t}} = - 2 \Rightarrow H\left( { - 2;{\rm{ }}7;{\rm{ }}3} \right)\).
Do vậy\(\overrightarrow {{\rm{AH}}} = (1;4;6)\) là véc tơ chỉ phương của ∆. Phương trình của $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z{\rm{ }} + 3}}{6}$