Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):\;x + 2y + 2z + 4 = 0\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0.\)Giá trị của điểm M trên (S) sao cho $d\left( {M,\left( P \right)} \right)$ đạt GTNN là:
A. \(\left( {1;1;3} \right)\).
B. $\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$.
D. \(\left( {1; - 2;1} \right)\).
A. \(\left( {1;1;3} \right)\).
B. $\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$.
D. \(\left( {1; - 2;1} \right)\).
Ta có: \(d(M,(P)) = 3 > R = 2 \Rightarrow (P) \cap (S) = \emptyset .\)
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}.\)
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: $A\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$, $B\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
Ta có: $d(A,(P)) = 5 \ge d(B,(P)) = 1.$ $ \Rightarrow d(A,(P)) \ge d(M,(P)) \ge d(B,(P)).$
Vậy: \( \Rightarrow d{(M,(P))_{\min }} = 1 \Leftrightarrow M \equiv B. \)
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}.\)
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: $A\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$, $B\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
Ta có: $d(A,(P)) = 5 \ge d(B,(P)) = 1.$ $ \Rightarrow d(A,(P)) \ge d(M,(P)) \ge d(B,(P)).$
Vậy: \( \Rightarrow d{(M,(P))_{\min }} = 1 \Leftrightarrow M \equiv B. \)