Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A'(0;0;b)$ $(a > 0,b > 0)$. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $\left( {MBD} \right)$ vuông góc với nhau là:
A.$\frac{1}{3}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. - 1.
D. 1.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow C\left( {a;a;0} \right) \Rightarrow C'\left( {a;a;b} \right) \Rightarrow M\left( {a;a;\frac{b}{2}} \right)\)
Cách 1.
Ta có \(\overrightarrow {MB} = \left( {0; - a; - \frac{b}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a;0} \right)\) và \(\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - b} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\frac{{ab}}{2};\frac{{ab}}{2}; - {a^2}} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {A'B} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2}; - {a^2}} \right)\)
Chọn \(\overrightarrow v = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của \(\left( {A'BD} \right)\)
\(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \frac{{ab}}{2} + \frac{{ab}}{2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow \frac{a}{b} = 1\)
Cách 2.
\(AB = AD = BC = CD = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B = A'D\\MB = MD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'X \bot BD\\MX \bot BD\end{array} \right.\) với \(X\) là trung điểm \(BD\)
\( \Rightarrow \left[ {\widehat {\left( {A'BD} \right);\left( {MBD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {A'X;MX}} \right)\)
\(X\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\) là trung điểm \(BD\)
\(\overrightarrow {A'X} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - b} \right)\)
\(\overrightarrow {MX} = \left( { - \frac{a}{2}; - \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}} \right)\)
\(\left( {A'BD} \right) \bot \left( {MBD} \right) \Rightarrow A'X \bot MX\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'X} .\overrightarrow {MX} = 0\)
\( \Rightarrow - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{{b^2}}}{2} = 0\)
$ \Rightarrow \frac{a}{b} = 1$