Toán 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các năm vừa qua. Nhưng phần lớn học sinh không giải được bài toán này với các lý do sau:
  • Các em không nắm được phương pháp giải.
  • Tính đạo hàm sai.
  • Tìm nghiệm của đạo hàm sai.
  • Tính các giá trị sai.
  • Không biết loại hoặc nhận nghiệm
  • Kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sai . vv…vv .
Vì các lý do trên nên tôi quyết định chọn chuyên đề này để nêu ra các loại hàm số thường cho trong bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế những sai sót trên.
Nội Dung: Giả sử tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Quy Tắc:
  1. Tìm các điểm ${x_1};{x_2};...;{x_n}$ trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) không xác định.
  2. Tính : $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right).$
  3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó $M = \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} $; $m = \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} $
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] như sau:
  1. Tính đạo hàm f’(x)
  2. Giải phương trình: f’(x) = 0, tìm các nghiệm ${x_1};{x_2};...;{x_n} \in \left( {a;b} \right)$ (nếu có).
  3. Tính các giá trị : $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right).$
  4. Kết luận
$\mathop {m{\rm{af}}\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} = M = m{\rm{ax}}\left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$
$\mathop {\min \left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} = m = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$


C. Các loại hàm số thường gặp:
Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] sau:
1) Hàm đa thức :
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 6{x^2} + 1$ trên đoạn [-1; 1]
Giải​
Ta có ${f^/}\left( x \right) = 6{x^2} - 12x$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$ ( x = 2 loại )
Tính : $f\left( { - 1} \right) = - 7;f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) - 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 1;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = - 7$

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^2} + 3$ trên đoạn [0; 2]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = - 8{x^3} + 8x$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 8{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.$ ( x = -1 loại )
Tính : $f\left( 0 \right) = 3;f\left( 1 \right) = 6;f\left( 2 \right) = - 13$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = 6;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = - 13$

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1$ trên đoạn [-1; 0]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0$ (vô nghiệm)
Tính : $f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3};\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1$
2) Hàm phân thức :
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}$ trên đoạn [2; 4]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1$
Tính : $f\left( 2 \right) = - 5;f\left( 4 \right) - 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = - 3;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = - 5$
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ trên đoạn [- 0,5; 1]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2$
Tính : $f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0;\,\mathop {minf\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3$

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = - x + 1 - \frac{4}{{x + 2}}$ trên đoạn [ -1; 2]
Giải​
${f^/}\left( x \right) = - 1 + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 1 + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 4 \end{array} \right.$ ( x = - 4 loại )
Tính : $f\left( { - 1} \right) = - 2;f\left( 0 \right) = - 1;f\left( 2 \right) = - 2$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} = - 1;\,\,\mathop {minf\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} = - 2$

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}$ trên đoạn [0; 3]
Giải​
Ta có : $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 7 = 0$ (Vô nghiệm )
Tính: $f\left( 0 \right) = - \frac{3}{2};f\left( 3 \right) = \frac{{12}}{5}$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = \frac{{12}}{5};\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = - \frac{3}{2}$

3) Hàm phân thức :
Ví dụ 8:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \sqrt {5 - 4x} $ trên đoạn [-1; 1]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)$
Tính : $f\left( { - 1} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 1$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 3;\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 1$

Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:$b)y = f\left( x \right) = \sqrt {4x - {x^2}} $ trên đoạn [0,5; 3]
Giải​
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = \frac{{2 - x}}{{\sqrt {4x - {x^2}} }}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 - x = 0 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Tính : $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{2};f\left( 2 \right) = 2;f\left( 3 \right) = \sqrt 3 $
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {\frac{1}{2};3} \right]} = 2;\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {\frac{1}{2};3} \right]} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$

Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:$c)y = f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} $
Giải​
Miền xác định: D = [-2; 2]. Ta xét hàm số trên miền xác định của nó.
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = - \sqrt 2 \end{array} \right.$
Tính : $f\left( 2 \right) = 2;f\left( { - 2} \right) = - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( { - \sqrt 2 } \right) = 0$
Vậy: $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\,\,\,\mathop {{\mathop{\rm minx}\nolimits} f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} = - 2$

4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit:
Ví dụ 11:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = 2x.{\ell ^x}$ trên đoạn [-1; 2]
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2{\ell ^x} + 2x{\ell ^x}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\\ f\left( { - 1} \right) = - \frac{2}{\ell };f\left( 2 \right) = 4{\ell ^2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 4{\ell ^2};\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = - \frac{2}{\ell } \end{array}$

Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = x - {\ell ^{2x}}$ trên đoạn [-1;0]
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 1 - 2{\ell ^{2x}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2{\ell ^{2x}} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\ln 2\\ f\left( { - 1} \right) = - 1 - \frac{1}{\ell };f\left( { - \frac{1}{2}\ln 2} \right) = - \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2};f\left( 0 \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \mathop { - \frac{1}{2}}\limits_{} \ln 2 - \frac{1}{2};\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = - 1 - \frac{1}{\ell } \end{array}$

Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;{\ell ^2}} \right]$
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = \ell \\ f\left( 1 \right) = 0;f\left( \ell \right) = \frac{1}{\ell };f\left( {{\ell ^2}} \right) = \frac{2}{{{\ell ^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;{\ell ^2}} \right]} = \frac{1}{\ell };\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;{\ell ^2}} \right]} = 0 \end{array}$

Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = {x^2} - \ln \left( {1 - 2x} \right)$ trên đoạn [-1 ;0]
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{1 - 2x}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{{1 - 2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\left( {loai} \right)\\ x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ f\left( { - 2} \right) = 4 - \ln 5;f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} - \ln 2;f\left( 0 \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} = 4 - \ln 5;\,\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} = \frac{1}{4} - \ln 2 \end{array}$

5) Hàm số lượng giác:
Ví dụ 15:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y = f(x) = sin(2x) - x trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2c{\rm{os2x}} - 1\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6}\\ x = - \frac{\pi }{6} \end{array} \right.\left( {x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2};f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6};f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6};f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right) = \frac{\pi }{2}}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} ;\,\mathop {\min f\left( x \right) = - \frac{\pi }{2}}\limits_{\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \end{array}$

Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = x + \sqrt 2 \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$
Giải​
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 1 - \sqrt 2 {\rm{sinx}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\left( {Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ f\left( 0 \right) = \sqrt 2 ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right) = \frac{\pi }{4}}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} + 1;\,\,\mathop {\min f\left( x \right) = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} \end{array}$

Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2$
Giải​
MXĐ : D = R
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\\ t = {\sin ^2}x;\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in R \end{array}$
Ta xét hàm số: $g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3$ trên đoạn [-1 ;1]
Ta có : g’(t) = -2t – 2 = 0 <=>t = -1
Tính: $g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0$
Vậy : $\mathop {\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_R = \max g\left( t \right) = 4}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} ;\,\,\mathop {\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_R = \max g\left( t \right) = 0}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} $

VÍ DỤ VẬN DỤNG
Câu 1:
Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5; 0] là:
A. 7
B. -143
C. 6
D. 8
Hướng dẫn
\(y' = 3{x^2} + 5\\ y' = 0\,(VN)\)
y(-5) = -143
y(0) = 7
Vậy GTLN của hàm số là 7.
Câu 2:
Cho hàm số có bảng biến thiên sau

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 và 1
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 1
Hướng dẫn
Chọn A.
Câu 3:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin x - \frac{4}{3}{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng:
A. \(-\frac{1}{3}\)
B. 1
C. \(\frac{1}{3}\)
D. -3
Hướng dẫn
Đặt t=sinx
Do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(t \in \left( { - 1;1} \right)\)
Xét hàm số: \(f(t) = t - \frac{4}{3}{t^3},t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(y' = 1 - 4{t^2}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy
\(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} f(t) = - \frac{1}{3}\)
Câu 4:
Cho biểu thức \(A = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}},\) với \(x, y\neq 0\) Giá trị nhỏ nhất của A bằng:
A. 1
B. 0
C. -1
D. Không có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
Đặt \(y=xt, t\neq 0\)
Khi đó:
\(A = \frac{{2xt.x}}{{{x^2} + {{(xt)}^2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)
Xét hàm số:
\(f(t) = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) trên R
\(f'(t) = - \frac{{2({t^2} - 1)}}{{{{\left( {t{}^2 + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy
\(min \ f(t)= -1\) tại \(t =- 1\neq 0\)
Vậy GTNN của A bằng -1.
Câu 5:
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = \frac{x^4}{4} - 2x^2+6\).
A. \(y_{CD} = 2\)
B. \(y_{CD} = 6\)
C. \(y_{CD} \in \{ 2;6\}\)
D. \(y_{CD}=0\)
Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\\ y ' = x^3 - 4x = x(x^2 - 4); \ y'(x) = 0 \\ \\ \Leftrightarrow x_{1}=0; \ x_{2} = 2; \ x_{3}= -2 \\ \\ y'' = 3x^2 - 4\)
\(\\ \\ y''(\pm 2) = 8 > 0\) nên x= -2 và x = 2 là hai điểm cực tiểu.
\(\\ \\ y''(0) = -4 < 0\) nên x = 0 là điểm cực đại.
⇒ Hàm số đạt cực đại tại \(x_{CD} = 0 ; \ y_{CD} = 6\)
Câu 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
A. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 21\)
B. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 14\)
C. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 11\)
D. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 70\)
Hướng dẫn
\(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\)
Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\).
Ta lần lượt so sánh \(f\left( { - 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { - 4} \right) = - 70\) là nhỏ nhất.
Vậy đáp án đúng là D.
Câu 7:
Tìm GTNN của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};5} \right]\).
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - \frac{5}{2}\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = \frac{1}{5}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 3\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 2\)
Hướng dẫn
\(y = x - 5 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = - 3;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{5}{2};y\left( 5 \right) = \frac{1}{5}\)
Vậy GTNN của hàm số bằng -3.
Câu 8:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{6 - 8x}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(M = - 2\)
B. \(M = \frac{2}{3}\)
C. \(M= 8\)
D. \(M= 10\)
Hướng dẫn
Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{8{x^2} - 12x - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 8{x^2} - 12x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 2\\ x = - \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 8 \end{array} \right.\)
Ta vẽ bảng biến thiên và thấy \(\min \,f(x) = - 2;max\,f(x) = 8\)
Câu 9:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\).
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 3\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 1\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\)
Hướng dẫn
Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 4 \right) = 51\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = - 3\)
Câu 10:
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Đáp số khác.
Hướng dẫn
Hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) xác định trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có \(y' = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\). Ta lần lượt so sánh các giá trị
\(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 1}}{2};y\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Vậy \(M - m = \frac{1}{2} - \left ( - \frac{1}{2} \right ) = 1\)
Câu 11:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y= 3\sin x - 4{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
A. M=3
B. M=7
C. M=1
D. M=-1
Hướng dẫn
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\). Khi đó: \(f(t) = 3t - 4{t^3}\)
\(f'\left( t \right) = \left( {3t - 4{t^3}} \right)' = - 12{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Ta có:
\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)
\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\)
So sánh \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: GTLN của hàm số là \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).
Câu 12:
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
Hướng dẫn
Phân tích: A sai do hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1.
C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.
Câu 13:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên \(\left[ {1;3} \right]\). Tính tổng \(\left( {M + m} \right)\).
A. 6
B. 4
C. 8
D. 2
Hướng dẫn
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\ x = 2 \in \left[ {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( 1 \right) = 1,y\left( 2 \right) = - 1\), \(y\left( 3 \right) = 3\).
Do đó: \(M = y\left( 3 \right) = 3,m = y\left( 2 \right) = - 1\).
Nên \(M + m = 3 - 1 = 2\)
Câu 14:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}}\) .
A. \(M=2\sqrt 2\)
B. M=2
C. M=3
D. M=1
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = {\rm{[ - 2;2]}}\)
\({\rm{y' = 1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {\rm{1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {4 - {x^2}} \\ 4 - {x^2} > 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4 - {x^2}\\ x \ge 0\\ - 2 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\)
\(y( - 2) = - 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2\)
\(y(2) = 2\)
Vậy GTLN của hàm số là \(2\sqrt 2\)
Câu 15:
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số: \(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=128
B. M+m=0
C. M+m=127
D. M+m=126
Hướng dẫn
\(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) ta có
\(y' = 8{x^3} - 8x,y' = 0 \leftrightarrow x = - 1;x = 0;x = 1\)
Vì hàm số liên tục và xác định trên đoạn nên ta có
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1 \to m = - 1\)
\(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 127 \to M = 127\)
Vậy \(M + m = 127 - 1 = 126\).
Câu 16:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
A. \(M = - 3\)
B. \(M = \frac{-1}{3}\)
C. \(M = 1\)
D. \(M = \frac{1}{5}\)
Hướng dẫn
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\), TXĐ:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục và xác định trên [-2;2].
Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{(x + 3)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 3\)
Nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên [-2;2]
Suy ra: \(f(x) < f(2) = \frac{1}{5},\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;2] là \(\frac{1}{5}\).
Câu 17:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2]?
A. m<0
B. m=2
C. m>0
D. m=-2
Hướng dẫn
Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Câu 18:
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
A. m=0
B. m=6
C. m=4
D. m=2
Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên [-1;1].
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\)
\(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\)
Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
Câu 19:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4].
A. m=-2
B. m=6
C. m=-3
D. \(m = \frac{{19}}{3}\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\\ y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y(2) = 7;\,y(3) = 6;\,y(4) = \frac{{19}}{3}\)
Suy ra: \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} y = Min\left\{ {y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 3 \right) = 6\)
Câu 20:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = 2x + \sqrt {5 - {x^2}}\).
A. M=5
B. \(M = - 2\sqrt 5\)
C. M=6
D. \(M = - 2\sqrt 6\)
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = 2 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{x}{{\sqrt {5 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt {5 - {x^2}} \\ \sqrt {5 - {x^2}} \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \sqrt 5 \\ {x^2} = 4\left( {5 - {x^2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y( - \sqrt 5 ) = - 2\sqrt 5 ;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 5\\ y\left( {\sqrt 5 } \right) = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in D} y = 5 \end{array}\)
Câu 21:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\). Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t=2
B. t=3
C. t=4
D. t=5
Hướng dẫn
Ta có \(v = s'\) hay \(v = 12t - 3{t^2}\)
Xét hàm số
\(f\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) với \(t > 0\)
\(f'(t) = 12 - 6t\)
Lập bảng biến thiên ta tìm được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2.
Nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2
Câu 22:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
A. m=-2
B. m=1
C. m=-3
D. m=-5
Hướng dẫn
Đặt \({\log _2}x = t\) với \(x\in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó ta xét hàm số \(f(t) = {t^2} - 4t + 1\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;8} \right]} y = \mathop {M\inf (t)}\limits_{t \in \left[ {0;3} \right]} = Min\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = - 3\)
Câu 23:
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}}\) đạt giá trị lớn nhất là \(- \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
A. m=-5
B. m=1
C. m=0
D. m=-2
Hướng dẫn
\(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}} \Rightarrow y' = \frac{{2{m^2} + 1}}{{{{(m - x)}^2}}} > 0,\forall x \in \backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)
Nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Nếu \(m \in \left[ {2;3} \right]\) thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3].
Nếu \(m \notin \left[ {2;3} \right]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số trên [2;3] là \(y(3) = \frac{{6m + 1}}{{m - 3}} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 24:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {x^2} - 2{x^2} - 4x + 1\) trên đoạn [1; 3].
A. \(M = - 2.\)
B. \(M = - 4\).
C. \(M = \frac{{67}}{{27}}\)
D. \(M = -7\)
Hướng dẫn
\(y' = 3{x^2} - 4x - 4\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
\(y(1) = - 4;y(2) = - 7;y(3) = - 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = - 2\).
Câu 25:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{x - 2}}\) trên [3;5].
A. \(m = \frac{{28}}{3}\)
B. \(m = - \frac{3}{2}\)
C. \(m = - 2\)
D. \(m =5\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y'=\frac{{ - 13}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x\ne2\).
Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên [3;5].
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{28}}{3}\)
Câu 26:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật v = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20 (t tính theo giây). Vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm nào?
A. t=1 giây
B. t=3 giây
C. t=5 giây
D. t=16 giây
Hướng dẫn
Thực chất đây là bài toán tìm GTNN của hàm số một đoạn cho trước.
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20\) với t>0.
\(f'\left( t \right) = {t^3} - 3t + 2\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = - 2\left( l \right)} \end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1.
Câu 27:
Tìm là giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x + \sqrt 2 \cos x trên đoạn\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ].
A. \(M = \frac{\pi }{2},m = \sqrt 2\)
B. \(M = \frac{\pi }{4} + 1,m = \sqrt 2\)
C. \(M = 1,m = 0\)
D. \(M = 9,m = 4\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \sqrt 2 \sin x.{\rm{ }}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\,\left( {Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ y(0) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1;y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow M = \frac{\pi }{4} + 1;m = \sqrt 2 \end{array}\)
Câu 28:
Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2 trên [-2;2].
A. M=7 và m=2.
B. M=7 và m=-1.
C. M=7 và m=0.
D. M=7 và m=-20.
Hướng dẫn
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x - 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y\left( { - 2} \right) = 0;y\left( 2 \right) = - 20;y\left( { - 1} \right) = 7\)
Vậy M=7, m=-20.
Câu 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) trên [1;3].
A. m=1; M=3
B. \(m = 0;\,M = \frac{2}{7}\)
C. \(m = 0;\,M = 1\)
D. \(m = - \frac{2}{7};\,M = 0\)
Hướng dẫn
Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{2}; + \infty } \right)\).
Vì hàm số đã cho liên tục và xác định trên [1;3] nên ta có GTNN của hàm số đó là y(1)=0 và GTLN của hàm số đó là \(y\left( 3 \right) = \frac{2}{7}\)
Câu 30:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4].
A. m=6
B. m=-2
C. m=-3
D. \(m = \frac{{19}}{3}\)
Hướng dẫn
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 \notin \left[ {2;4} \right]}\\ {x = 3 \in \left[ {2;4} \right]} \end{array}} \right.\).
Do hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2;4] và có \(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).
Câu 31:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\).
A. M=0; m=-4
B. M=8, Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
C. M=4; m=0
D. \(M = 4,\,m = \frac{3}{{16}}\)
Hướng dẫn
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4;f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\)
Với \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3.\frac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.
Câu 32:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn [-1;2]
A. m=-4
B. m=2
C. m=-1
D. m=23
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2{x^2} - 1\\ \Rightarrow y' = 4{x^3} + 2x = 2x(2{x^2} + 1)\\ y' = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y(0) = - 1\\ y( - 1) = 2\\ y(2) = 23 \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] là -1.
Câu 33:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = x + \sqrt {18 - {x^2}}\).
A. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 3\sqrt 2\)
B. \(m = 0 ;\,M = 3\sqrt 2\)
C. \(m = 0;\,M = 6\)
D. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 6\)
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 - {x^2}} \\ - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 - {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Câu 34:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 1 trên đoạn \(\left[ { - 2;\,4} \right]\). Tính tổng M+m.
A. M+m=-18
B. M+m=-2
C. M+m=14
D. M+m=-22
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\\ y( - 2) = - 19;\,y(0) = 1;\,y(2) = - 3;\,y(4) = 17\\ \Rightarrow M = 17;\,m = - 19 \Rightarrow M + m = - 2 \end{array}\)
Câu 35:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + m = 0\) có nghiệm.
A. \(0 \le m \le 2\)
B. \(\left| m \right| \ge 2\)
C. \(-2 \le m \le 0\)
D. \(-2 \le m \le 2\)
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
Xét hàm số \(f(x) = (1 - {x^2})\sqrt {4 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 2x\sqrt {4 - {x^2}} - (1 - {x^2}).\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = - \frac{{2x(4 - {x^2}) + x(1 - {x^2})}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{3{x^2} - 9x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( - 2) = f(2) = 0\\ f( - \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = - 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = - 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)
Câu 36:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\).
A. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{3}{5}\)
B. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
C. \(m=3\)
D. \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
Hướng dẫn
Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1.
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 37:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x}\) trên đoạn [-1;1].
A. M=9
B. M=3
C. M=1
D. M=0
Hướng dẫn
TXĐ : \(D = \left[ { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên hàm số liên tục và xác định trên [-1;1].
Đạo hàm : \(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1].
Vậy: \(M = y\left( { - 1} \right) = 3.\)
Câu 38:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).
A. \(m=5\)
B. \(m=\frac{23}{27}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=\frac{1}{27}\)
Hướng dẫn
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(t = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\)
Do \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow y' = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Miny = y\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}}\)
Câu 39:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + 3\sqrt {9 - {x^2}} .\)
A. m=-6
B. m=-9
C. m=9
D. m=0
Hướng dẫn
Điều kiện \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\)
\(y' = 2 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = 0 \Rightarrow 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 9{{\rm{x}}^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - 3} \right) = - 6;y\left( 3 \right) = 6\)
Vậy m=-6.
Câu 40:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {\sin ^4}x - {\sin ^3}x.\)
A. M=0
B. M=2
C. M=3
D. M=-1
Hướng dẫn
Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t;t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} - {t^3}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Khi đó \(y' = f'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { - 1} \right) = 2\).
Câu 41:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn \([0;3].\)
A. M=28 và m=-4
B. M=25 và m=0
C. M=54 và m=1
D. M=36 và m=-5
Hướng dẫn
\(\\ y' = 3{x^2} + 6x - 9,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\ x = - 3 \notin \left[ {0;3} \right] \end{array} \right. \\ \\ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = - 4,f\left( 3 \right) = 28\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 28,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = - 4 \end{array}\)
Câu 42:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \left( {0;\pi } \right).
A. \(M=2\)
B. \(M=\sqrt3\)
C. \(M=1\)
D. \(M=-\sqrt3\)
Hướng dẫn
\(f'\left( x \right) = \cos x + \sqrt 3 \sin x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in } \right)\)
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vậy, Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2.\)
Câu 43:
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có GTNN trên \([-1;1]\) bằng 0?
A. m=0
B. m=2
C. m=4
D. m=6
Hướng dẫn
\(\\ y' = - 3{x^2} - 6x \\ \\ y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right] \end{array} \right. \\ \\ x = 0 \Rightarrow y = m \\ \\ x = 1 \Rightarrow y = m - 4 \\ \\ x = -1 \Rightarrow y = m - 2\)
Từ đó dễ thấy y = m - 4 là GTNN cần tìm.
Vậy: \(m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4.\)
Câu 44:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \left[ { - 1;3} \right] và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng -1
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng -2
C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng 3
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng 2
Hướng dẫn
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là -2.
Câu 45:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = {e^x}(x - 1) - {x^2} trên đoạn \left[ {0;2} \right]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(M + m = {e^2} - 6\) B. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4\) C. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 8\) D. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6\)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
\(\begin{array}{l} y' = {e^x}(x - 1) + {e^x} - 2x = ({e^x} - 2)x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow y(\ln 2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2\\ x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \end{array} \right.\\ y(2) = {e^2} - 4 \end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(2) = {e^2} - 4 = M\\ \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(ln2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2 = m\\ \Rightarrow M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6 \end{array}\)
Câu 46:
Tím giá trị lớn nhất M của hàm số y = x - \sqrt {1 - {x^2}} .
A. M = - 1
B. \(M = - \sqrt 2\)
C. M = 1
D. \(M = \sqrt 2\)
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)
\(y' = 1 + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Ta có
\(y\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - \sqrt 2 ;\,\,y( - 1) = - 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là -1.
Câu 47:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35 trên đoạn [-4;4].
A. M = 40; m = -8
B. M = 15; m = -41
C. M = 40; m = -41
D. M = 40; m = -15
Hướng dẫn
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 3} \end{array}} \right.\)
Ta có \(y\left( { - 4} \right) = - 41;y\left( { - 1} \right) = 40;y\left( 3 \right) = 8;y\left( 4 \right) = 15\)
Do đó ta có \(M = 40;m = - 41\)
Câu 48:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 trên \mathbb{R}
A. M=4
B. M=5
C. \(M=\frac{15}{4}\)
D. \(M=\frac{17}{4}\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 = - {\sin ^2}x + \sin x + 4\)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) Ta có hàm số: \(g(t) = - {t^2} + t + 4\)
Xét hàm số g(t) trên \([-1;1]\) ta có:
\(\begin{array}{l} g'(t) = - 2t + 1\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} g( - 1) = 2\\ g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\\ g(1) = 4 \end{array}\)
Vậy \(M=\frac{17}{4}\)
Câu 49:
Xét hàm số \(f(x) = 3x + 1 + \frac{3}{{x + 2}}\) trên tập \(D=(-2;1]\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D bằng 1
B. Không tồn tại giá trị lơn nhất của f(x) trên D
C. Hàm số f(x) có một điểm cực trị trên D
D. Giá trị lớn nhất của f(x) trên D bằng 5
Hướng dẫn
\(f'(x) = 3 - \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số không có gí trị lớn nhất trong khoảng \(D=(-2;1]\)
Câu 50:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2\sin x.\)
A. \(M=0\)
B. \(M = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(M=3\)
D. \(M = \frac{{-3\sqrt 3 }}{2}\)
Hướng dẫn
Ta có \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2cox = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos = 1\\ \cos = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( {k2\pi } \right) = 0\\ f\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ f\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow Max{\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 51:
Gọi M mà m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\) Tính giá trị của M-m
A. M=m=-2
B. M-m=-1
C. M-m=1
D. M-m=2
Hướng dẫn
Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\)
Tập xác định: D =[0; 1]
Do \(0 \le x \le 1\) nên \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=0, khi đó y=1.
Mặt khác \(0 \le x \le 1\) với thì \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt {1 - x} - {{2.1}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = - 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=1, khi đó y=-1.
Vậy M=1, m=-1 suy ra M-m=2.
Câu 52:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + \ln \left( {1 - 2x} \right)\) trên [-1; 0].
A. \(m = - 2 + \ln 3\)
B. \(m = 0\)
C. \(m = -1\)
D. \(m = 2 + \ln 3\)
Hướng dẫn
\(y' = 2 - \frac{2}{{1 - 2x}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 0] là \(m = y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3.\)
Câu 53:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1]
A. \(m\geq 1\)
B. \(m \leq 1\)
C. \(0\leq m \leq 1\)
D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
Hướng dẫn
\({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1].
\(\begin{array}{l} y' = \frac{{ - {x^4} - 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - (x - 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = - 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\)
Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \frac{3}{4}.\)
Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
Câu 54:
Tìm giá trị của x để hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) có giá trị lớn nhất?
A. \(x= \sqrt 2 .\)
B. \(x=3.\)
C. \(x= 2.\)
D. \(x=1.\)
Hướng dẫn
Tập xác định của hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = {\left( {{2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}} \right)^\prime } = \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2\\ = \left( {\frac{{2 - 2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2 \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 3 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.\)
Bảng biến thiên:

Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x=3.
Câu 55:
Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]. Khi đó tổng M+m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (0;2)
B. (3;5)
C. (59;61)
D. (39;42)
Hướng dẫn
Ta có \(y' = 6{x^2} + 6x - 12\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right] \end{array} \right..\)
Mà \(y(1) = - 6;y(3) = 46;y( - 1) = 14\) nên \(M = 46;m = - 6 \Rightarrow M + m = 40 \in \left( {39;42} \right).\)
Câu 56:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = \frac{x}{{{x^2} + 1}} trên đoạn [0;2].
A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)
B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)
C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)
D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\)
Hướng dẫn
Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \frac{2}{5}\)
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{2}.\)
Câu 57:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = \cos 2x + 4\cos x + 1.
A. M=5
B. M=4
C. M=6
D. M=7
Hướng dẫn
\(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\)
Đặt \(t = \cos x,\,\,1 - \le t \le 1\)
Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, - 1 \le t \le t\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}\)
Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( - 1) = - 2\)
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là M=6.
Câu 58:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên \([-3;2]\)
A. M=3
B. M=-1
C. M=4
D. M=-13
Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên đoạn \([-3;2]\)
ta có \(y' = 7 - 4x - 3{x^2};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
Tính các giá trị \(y( - 3) = - 13,y(1) = 3,y\left( { - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{{419}}{{27}},y(2) = - 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.
Câu 59:
Cho hàm số \(y = \cos x + \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}\) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính \(S=M+m\)
A. \(S = 1 + \sqrt 2\)
B. \(S = \sqrt 2\)
C. \(S = \sqrt 2-1\)
D. \(S = \frac{\sqrt 2}{2}-1\)
Hướng dẫn
Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 - {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tính các giá trị \(f( - 1) = - 1,f(1) = 1,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 - 1.\)
Câu 60:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}}\) trên [-1;1] bằng 2.
A. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
B. m = 0
C. \(m = \pm \sqrt 2\)
D. Không tồn tại m
Hướng dẫn
Để hàm số liên tục trên [-1;1] thì \(m \notin \left[ { - 1;1} \right]\)
Khi đó: \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}} \Rightarrow y' = - \frac{{{m^4} + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên [-1;1]
Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [-1;1] nên:
\(\mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} y = y(1) = \frac{{{m^3} + 2}}{{1 - m}} = 2 \Leftrightarrow {m^3} + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 61:
Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3]. Tính giá trị của tỉ số \(\frac{M}{m}\).
A. \(\frac{M}{m}=\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{M}{m}=\frac{5}{3}\)
C. \(\frac{M}{m}=2\)
D. \(\frac{M}{m}=\frac{2}{3}\)
Hướng dẫn
Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3]
\(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y' = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.\)
Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}.\)
Câu 62:
Cho hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x - 1} \right|.\) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\)
A. \(M = \frac{{17}}{8}.\)
B. \(M = \frac{{9}}{4}.\)
C. \(M =2.\)
D. \(M = 3.\)
Hướng dẫn
Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} - 3x - 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(f'(x) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)
Lại có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 2;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{ - 17}}{8};f(1) = - 2\)
\(\Rightarrow f(x) \in \left[ {\frac{{ - 17}}{8}; - 2} \right] \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \in \left[ {2;\frac{{17}}{8}} \right]\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = \frac{{17}}{8}.\)
Câu 63:
Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5;0] bằng bao nhiêu?
A. 80
B. -143
C. 5
D. 7
Hướng dẫn
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 5 > 0;\forall x \in \left[ { - 5;\;0} \right]\)
\(y( - 5) = - 143;y(0) = 7\)\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = 7\)
Câu 64:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 1}}{{x - m}}\) có giá trị lớn nhất trên [1;2] bằng -2.
A. m=-3
B. m=2
C. m=4
D. m=3
Hướng dẫn
Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ m \right\}\).
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1;2] thì \(m \notin \left[ {1;\;2} \right]\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\)
\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{{1 - m}}\)
Theo đề bài: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3.\)
Câu 65:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \cdot\) Khi đó tích m.M bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 3
C. \(\frac{10}{3}\)
D. 1
Hướng dẫn
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
\(y' = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}};\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\)
Bảng biến thiên:

Vậy \(M = 3;m = \frac{1}{3} \Rightarrow m.M = 1\).
Câu 66:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn [-4;4]. Khi đó tổng n+M bằng bao nhiêu?
A. 48
B. 11
C. -1
D. 55
Hướng dẫn
\(y' = 3{x^2} - 6x - 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\,\, \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = 3\,\,\,\,\, \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\)
\(y\left( { - 1} \right) = 40;\)\(y\left( 3 \right) = 8\); \(y(4)=15; y(-4)=-41.\)
Vậy: \(M = 40;m = - 41 \Rightarrow m + M = - 1.\)
Câu 67:
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập hợp \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\).
A. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) không tồn tại \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right).\)
B. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\)\(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-\sqrt 5.\)
C. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-1.\)
D. \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=0;\) không tồn tại \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right).\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y' = {\left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}} \right]^\prime } = \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \notin D\).
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0\); \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) = - \sqrt 5\).
Câu 68:
Tìm S là tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {2 - {x^2}} - x.\)
A. \(S = 2 - \sqrt 2\)
B. \(S = 2\)
C. \(S = 2 +\sqrt 2\)
D. \(S =1\)
Hướng dẫn
Hàm số xác định khi và chỉ khi:\(2 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \Rightarrow D = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)
Khi đó:\(y' = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - x} \right)' = - \frac{{x + \sqrt {2 - {x^2}} }}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow x + \sqrt {2 - {x^2}} = 0\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 2 - {x^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 1} \end{array} \Rightarrow x = - 1} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{\left( { - \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 }\\ {{y_{\left( { - 1} \right)}} = 2} \end{array}}\\ {{y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\max y = {y_{\left( { - 1} \right)}} = 2}\\ {\min y = {y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \max y + \min y = 2 - \sqrt 2 . \end{array}\)
Câu 69:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {x^2} - 4x + m = 2\sqrt {5 + 4x - {x^2}} + 5 có nghiệm.
A. \(- 1 \le m \le 2\sqrt 3.\)
B. \(0 \le m \le 15.\)
C. \(m\geq -1\)
D. \(m\geq 0\)
Hướng dẫn
Điều kiện đối với \(x\in \left [ -1;5 \right ]\)
Đặt \(t = \sqrt {5 + 4x - {x^2}} \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó phương trình trở thành \(m=2t+t^2\).
Tìm GTLN – GTNN của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} + 2t,t \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow 0 \le g\left( t \right) \le 15.\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì \(0 \le m \le 15.\)
Câu 70:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + \frac{{54}}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 0\)
B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 13\)
C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 23\)
D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 21\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y' = 2x - 4 - \frac{{54}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^3} - 27} \right]}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) .
\(y' = 0 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5;\,y\left( 5 \right) = 23.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = y\left( 5 \right) = 23\).
Câu 71:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(M + m = \frac{8}{3}\)
B. \(M + m = \frac{4}{3}\)
C. \(M + m = \frac{7}{2}\)
D. \(M + m = \frac{16}{3}\)
Hướng dẫn
Ta có
\(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};y' = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 3 \notin \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]} \end{array}} \right.\)
Tính giá trị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 1} \right) = - \frac{2}{3}}\\ {f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{3}{2}}\\ {y\left( 3 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - \frac{2}{3}}\\ {M = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = \frac{{16}}{3}.\)
Câu 72:
Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy.\)
A. \(\min P = - 83\)
B. \(\min P = - 63\)
C. \(\min P = - 80\)
D. \(\min P = -91\)
Hướng dẫn
Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x - 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\)
Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)
Xét biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\)
Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\).
Lại có:
\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - 3\left( {x + y} \right) - 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} - 21\left( {x + y} \right) - 63 = 4{t^2} - 21t - 63 \end{array}$\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 21t - 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = - 83\)
Câu 73:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên \(\left[ {1;{e^3}} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{4}{{{e^2}}}\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{9}{{{e^2}}}\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{1}{e}\)
Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\), ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln x.\frac{1}{x}.x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}};\forall x \in \left[ {1;{e^3}} \right]\)
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = 0}\\ {\ln x = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = {e^2}} \end{array}} \right.\).
Tính giá trị \(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}};f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} = \frac{4}{{{e^2}}}\).
Câu 74:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 1\) trên đoạn [-3;2].
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 8\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 1\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 3\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 3\)
Hướng dẫn
Ta có \(y' = \left( {{x^2} - 1} \right)' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 3} \right) = 8}\\ {y\left( 0 \right) = - 1} \end{array}}\\ {y\left( 2 \right) = 3} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 1.\)
Câu 75:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} .\) Tính M+m.
A. \(M + m = 16\)
B. \(M + m = \frac{{12 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\)
C. \(M + m = \frac{{16 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\)
D. \(M + m = 18\)
Hướng dẫn
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \ge 0}\\ {5 - x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 5 \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\)
Khi đó \(y' = \left( {3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} } \right)' = \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{61}}{{25}}\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 \right) = 8}\\ {y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {M = \max y = y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {m = Miny = y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = 16.\)
Câu 76:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3].
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3] ta có: \(f'(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}; \forall x\in [0;3]\)
Phương trình \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ {x^2} + 2x - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)
Tính giá trị \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( 1 \right) = - 1,\,\,f\left( 3 \right) = 0.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là 0.
Câu 77:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right].\)
A. \(M = - \frac{7}{2}\)
B. \(M = - 3\)
C. \(M = 1\)
D. \(M = -\frac{13}{3}\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x - 2x + 2 + 1}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)
\(\Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\)
Tính \(y( - 2) = \frac{{ - 13}}{3};y(0,5) = \frac{{ - 7}}{2};y(0) = - 3\)
Vậy giá trị lớn nhất sẽ là M=-3.
Câu 78:
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí C theo đường gấp khúc ASC(S là một vị trí trên đất liền) như hình vẽ. Biết BC=1 km, AB= 4 km, 1km dây điện đặt dưới nước có giá 5000 USD, 1 km dây điện đặt dưới đất có giá 3000 USD. Hỏi điểm S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

A. \(\frac{{15}}{4}km\)
B. \(\frac{{13}}{4}km\)
C. \(\frac{{10}}{4}km\)
D. \(\frac{{19}}{4}km\)
Hướng dẫn
Gọi SA=x, ta có: BS=4-x.
Suy ra:\(SC = \sqrt {B{S^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + {1^2}}\)
Số tiền cần để mắc là:\(5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x\) (nghìn USD)
Xét hàm số: \(f(x) = 5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x,0 < x < 4\)
Ta có: \(f'(x) = 5.\frac{{\left[ {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + 1} \right]'}}{{2\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3 = \frac{{5(x - 4)}}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3\)
\(f'(x) = \frac{{5(x - 4) + 3\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\)
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{13}}{4}\)
Câu 79:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}}.\) Tính giá trị biểu thức \(P = M + {\left( {\frac{{2m}}{9}} \right)^3}.\)
A. \(P = \frac{{10}}{3}.\)
B. \(P = 1.\)
C. \(P = \frac{{35}}{3}.\)
D. \(P = \frac{{32}}{3}.\)
Hướng dẫn
Ta có \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = 3 = {({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}}\)
Đặt \(t = {3^{{{\sin }^2}x}}\) do \(0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le {3^{{{\sin }^2}x}} \le 3 \Rightarrow t \in \left( {1;3} \right)\) khi đó \({({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}} = {t^2} + \frac{3}{t}\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} + \frac{3}{t}\) với \(t \in \left( {1;3} \right).\)
Ta có \(g'\left( t \right) = 2t - \frac{3}{{{t^2}}};g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt(3){{\frac{3}{2}}}\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = 4;f\left( 3 \right) = 10;f\left( {\sqrt(3){{\frac{3}{2}}}} \right) = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow M = 10;m = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow P = \frac{{32}}{3}.\)
Câu 80:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^4}x + {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x\cos x.\)
A. \({\rm{max y = }}\frac{7}{8}.\)
B. \({\rm{max y = }}\frac{5}{4}.\)
C. \({\rm{max y = }}\frac{{17}}{{16}}.\)
D. \({\rm{max y = }}\frac{{15}}{{16}}.\)
Hướng dẫn
Ta có \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \frac{{1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x}}{4} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \frac{3}{4} + \frac{{{{\cos }^2}2x + \sin 2x}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{{1 - {{\sin }^2}2x + \sin 2x}}{4}\)
Xét hàm số \(f(x) = 1 - {\sin ^2}2x + \sin 2x\)
Đặt \(t = \sin 2x,\) ta có hàm số: \(g(t) = 1 - {t^2} + t,t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(\begin{array}{l}g'(t) = - 2t + 1\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\end{array}\)
Ta có: \(g( - 1) = - 1;g(1) = 1;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{4}\)
Vậy \(\max g(t) = \max f(x) = \frac{5}{4}\)
Suy ra: \(\max y = \frac{3}{4} + \frac{{\frac{5}{4}}}{4} = \frac{{17}}{{16}}.\)
Câu 81:
Cho \(1 < x < 64.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{x}.\)
A. 64
B. 96
C. 82
D. 81
Hướng dẫn
\(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)\)
\( = \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\)
Đặt \(t = {\log _2}x\)
Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\)
Xét hàm số \(P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)
Câu 82:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{19}}{3}\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 6\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 7\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{11}}{3}\)
Hướng dẫn
\(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3 \in \left[ {2;4} \right]}\end{array}} \right.\)
\(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = y\left( 2 \right) = 7\)
Câu 83:
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right] \) là \(M = \frac{m}{{{e^n}}},\) trong đó m, n là các số tự nhiên. Tính \(S = {m^2} + 2{n^3}.\)
A. S = 22
B. S = 24
C. S = 32
D. S = 135
Hướng dẫn
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow {f^'}\left( x \right) = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln {\rm{x}} = 0\\\ln {\rm{x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\)
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}},f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}} \Rightarrow \frac{4}{{{e^2}}} = \frac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = 32.\)\({a^2} + {b^2}.\)
Câu 84:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
C. Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
D. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
Hướng dẫn
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Câu 85:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó
A. \(M - m = 4\)
B. \(M - m = 2\sqrt 2 \)
C. \(M - m = 2\sqrt 2 - 2\)
D. \(M - m = 2\sqrt 2 + 2\)
Hướng dẫn
Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right].\)
Ta có \(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\)
Ta có \(y\left( { - 2} \right) = - 2;y\left( 2 \right) = 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \);
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = 2\sqrt 2 ;\,m = - 2\\ \Rightarrow M - m = 2\sqrt 2 + 2\end{array}\).
Câu 86:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - x\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) là:
A. \(2\ln 2 - 3\)
B. -3
C. \(2\ln 3 - 4\)
D. -2
Hướng dẫn
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)
Ta có \(y' = \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 1}} - 1;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{y' = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{{x^2} - 2x + 1 = 2x - 2}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 3\)
Mà \(y\left( 2 \right) = - 2;y\left( 4 \right) = \ln 9 - 4;y\left( 3 \right) = \ln 4 - 3 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = - 2.\)
Câu 87:
Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 3{y^2} = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {x - y} \right)^2}\) là:
A. \(\max P = 8\)
B. \(\max P = 12\)
C. \(\max P = 16\)
D. \(\max P = 4\)
Hướng dẫn
Với y=0 ta có \(x = \pm 2 \Rightarrow P = 4.\)
Với \(y \ne 0,\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 2\frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 3}}\)
Đặt \(t = \frac{x}{y},\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
\(f'(t) = \frac{{4({t^2} + t - 2)}}{{{{({t^2} + 2t + 3)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy \(\max f(t) = 3 \Rightarrow \max P = 12.\)
Câu 88:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) với \(x > 0.\)
A. \(m = 3.\)
B. \(m = 2.\)
C. \(m = 1.\)
D. \(m = 0.\)
Hướng dẫn
Ta có \(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = 3\).
Câu 89:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{e^{\frac{\pi }{6}}}.\)
C. 1
D. \(\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}.\)
Hướng dẫn
Ta có: \(y' = \left( {{e^x}\cos x} \right)' = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}\\y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
Câu 90:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right].\)
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 0\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - \frac{3}{7}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 4\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 1\)
Hướng dẫn
\(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in \left[ {0;3} \right]}\\{x = - 2 \in \left[ {0;3} \right]}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = - 1;y\left( 3 \right) = \frac{1}{7} \Rightarrow Miny = - 1\)
Câu 91:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
A. \(y = - {x^2} + 2\)
B. \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\)
C. \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\)
D. \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\)
Hướng dẫn
Kiểm tra 4 phương án ta có:
Hàm số \(y = - {x^2} + 2\) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất
Hàm số \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\) và \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\) không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Câu 92:
Cho hàm số \(y = \frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}\) (m là tham số, \(m \ne 0\)). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right].\)
A. \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
B. \(m > 0\)
C. \(m < 0\)
D. \(m \in \emptyset \)
Hướng dẫn
Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}} \right)'} = \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{1 - {x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { - 2} \right) = - 2m}\\{y\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2}m}\\{y\left( 1 \right) = \frac{5}{2}m}\\{y\left( 2 \right) = 2m}\end{array}} \right.\) .
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m > 0.\)
Câu 93:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x\) trên đoạn \(D = \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4}\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4};\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)
Hướng dẫn
\(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x = 2{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + 1\)
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} - 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} - 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Câu 94:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) như hình vẽ bên. Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right].\)

A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Hướng dẫn
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên [-2;4] như hình vẽ:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { - 1} \right) = 3.\)
Câu 95:
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian t (s) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng 10 (m/s), hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
A. 5 (s)
B. 6 (s)
C. 1 (s)
D. 2(s)
Hướng dẫn
Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = 10 + {t^2} - 7t\left( {m/s} \right)\)
Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{7}{2}{t^2} + 10t\left( m \right)\)
Ta có \(S'\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10 \Rightarrow S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 5}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S\left( 0 \right) = 0}\\{S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}}\\{S\left( 5 \right) = \frac{{25}}{6}}\\{S\left( 6 \right) = 6}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;6} \right]} S\left( t \right) = S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\)
Câu 97:
Tìm giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].\)
A. \(\frac{{23}}{{27}}.\)
B. 1
C. -1
D. 0
Hướng dẫn
\(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + \sin x + 1.\)
Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) khi đó hàm số trở thành \(y = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Ta có: \(y' = 3{t^2} + 4t + 1\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 1;\,\,y\left( 1 \right) = 5;\,\,y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}} \Rightarrow \,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \frac{{23}}{{27}}.\)
Câu 98:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng:
A. 2
B. 0
C. 1
D. 18
Hướng dẫn
Ta có \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Mặt khác \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 - \sqrt 3 }\\{x = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) mà \(\left\{ {1;1 - \sqrt 3 } \right\} \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 0\)
Câu 99:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\)
A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 5\)
B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = \frac{{15}}{2}\)
C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 4\)
D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 7\)
Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}y' = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {{(x + 2)}^2} + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - 4x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...