Giải bài 5 trang 44 SGK Giải tích lớp 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Đề bài
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số
\(y = -x^3+ 3x + 1\).
b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \(m\).
\(x^3- 3x + m = 0\).
a) Xét hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\).
Tập xác định : \(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\);
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\); \(y_{CĐ}=3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn:
Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \(I(0;1)\) và nhận \(I\) làm tâm đối xứng.

b) \(x^3- 3x + m = 0\) \(⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : \(y = m + 1\).
Từ đồ thị ta thấy :
+) \(m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2\) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) \( m + 1 = 3 ⇔ m = 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.