Giải bài 7 trang 44 SGK Giải tích lớp 12. Cho đồ thị hàm số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Đề bài
Cho hàm số y = \(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m\).
a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1 ; 1)\) ?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số khi \(m = 1\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
7scv Giải​
a) Điểm \((-1 ; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\).
b) Với \(m = 1\) \(\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\) .
Tập xác định:\(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1) \Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 0\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\)
- Giới hạn: \(\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
- Bảng biến thiên:
đồ thị hàm số.png

* Đồ thị
đồ thị hàm số_1.png

Đồ thị hàm số giao trục \(0y\) tại điểm \((0;1)\).
c) Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng \( \frac{7}{4}\) là: \(M\left( {{x_0}; \frac{7}{4}} \right)\).
Khi đó: \(\frac{1}{4}x_0^4 + \frac{1}{2}x_0^2 + 1 = \frac{7}{4} \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 + 4 = 7\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_0^2 = 1\\x_0^2 = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M_1\left( {1;\frac{7}{4}} \right)\\M_2\left( { - 1;\;\frac{7}{4}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M_1\) là: \(y = y'(1)(x - 1) + \frac{7}{4} ⇔ y = 2x -\frac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M_2\) là: \(y= y'(-1)(x + 1)+ \frac{7}{4} ⇔ y = -2x - \frac{1}{4}\).