Giải bài 9 trang 93 SGK hình học lớp 12 phần ôn tập phương pháp tọa độ không gian:
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\)
Đường thẳng \(∆\) đi qua M và vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):\(\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\). thay các tọa độ điểm H vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \Leftrightarrow t = -2\).
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\)
Lời giải bài tập
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).Đường thẳng \(∆\) đi qua M và vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):\(\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\). thay các tọa độ điểm H vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \Leftrightarrow t = -2\).
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).