Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 3 trang 121 phần Ứng dụng của tích phân trong hình học
Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Từ đó ta có: \(y = \pm \sqrt {8 + {x^2}} \)
Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \begin{array}{l} y = 2\;\;\left( {tm} \right)\\y = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \hfill \cr x^2=2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 2 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol \((P)\) như hình vẽ.
Khi đó ta có:
\(S_1 = 2\int_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - {{{x^2}} \over 2}} \right)} d{\rm{x}}\)
\(= 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx - \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]} \left| {_0^2 = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - {8 \over 3}} \right.\)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)
Đổi cận: \(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)
\({S_1} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 {\rm{costdt - }}{8 \over 3}} \)
\( = 16\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}tdt - {8 \over 3}} \)\( = 8\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + cos2t)dt - {8 \over 3}} \)
\(= [8t + 4sint2t]|_0^{{\pi \over 4}} - {8 \over 3} = 2\pi + {4 \over 3}\)
Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)
và \({S_2} = 8\pi - {S_1}= 8\pi-2\pi - {4 \over 3}=6\pi-{4\over 3}.\)
Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = {{9\pi - 2} \over {3\pi + 2}}\).
Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Lời giải bài tập
Đường tròn đã cho có phương trình: \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8.\)Từ đó ta có: \(y = \pm \sqrt {8 + {x^2}} \)
Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \begin{array}{l} y = 2\;\;\left( {tm} \right)\\y = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \hfill \cr x^2=2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 2 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol \((P)\) như hình vẽ.
Khi đó ta có:
\(S_1 = 2\int_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - {{{x^2}} \over 2}} \right)} d{\rm{x}}\)
\(= 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx - \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]} \left| {_0^2 = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - {8 \over 3}} \right.\)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)
Đổi cận: \(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)
\({S_1} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 {\rm{costdt - }}{8 \over 3}} \)
\( = 16\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}tdt - {8 \over 3}} \)\( = 8\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + cos2t)dt - {8 \over 3}} \)
\(= [8t + 4sint2t]|_0^{{\pi \over 4}} - {8 \over 3} = 2\pi + {4 \over 3}\)
Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)
và \({S_2} = 8\pi - {S_1}= 8\pi-2\pi - {4 \over 3}=6\pi-{4\over 3}.\)
Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = {{9\pi - 2} \over {3\pi + 2}}\).