Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 5 trang 121 phần Ứng dụng của tích phân trong hình học
Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \)
và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\)
Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).
a) Tính thể tích của theo \(α\) và \(R\).
b) Tìm \(α\) sao cho thể tích là lớn nhất.
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)
b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\)
Đặt \( t = \cos \alpha .\)
Với \(\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right].\)
Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)
Có: \(V'\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy thể tích khối lớn nhất khi \(\alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \)
và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\)
Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).
a) Tính thể tích của theo \(α\) và \(R\).
b) Tìm \(α\) sao cho thể tích là lớn nhất.
Lời giải bài tập
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)
b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\)
Đặt \( t = \cos \alpha .\)
Với \(\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right].\)
Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)
Có: \(V'\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy thể tích khối lớn nhất khi \(\alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)