Giải các phương trình:
a) $4(2{x^2} + 1) + 3({x^2} - 2x)\sqrt {2x - 1} = 2({x^3} + 5x)$
b) \(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \)
c) \(\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} \)
Lời giải:
a). Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}\)
Phương trình đã cho được viết lại như sau:
$\begin{array}{l}
2{x^3} - 8{x^2} + 10x - 4 - 3x(x - 2)\sqrt {2x - 1} = 0\\
\Leftrightarrow (x - 2)(2{x^2} - 4x + 2) - 3x(x - 2)\sqrt {2x - 1} = 0\\
\Leftrightarrow (x - 2)\left[ {(2{x^2} - 4x + 2) - 3x\sqrt {2x - 1} } \right] = 0
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\(2{x^2} - 4x + 2) - 3x\sqrt {2x - 1} = 0\end{array} \right.$
Xét phương trình: $2{x^2} - 4x + 2 - 3x\sqrt {2x - 1} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 3\sqrt {{x^2}(2x - 1)} = 0$
Ta giả sử: $2{x^2} - 4x + 2 = m{x^2} + n(2x - 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 2\end{array} \right.$
Phương trình trở thành: $2{x^2} - 2(2x - 1) - 3\sqrt {{x^2}(2x - 1)} = 0$. Chia cho \({x^2} > 0\)
Ta có: $2 - 2.\left( {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} = 0$.
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} \ge 0\) phương trình mới là: \( - 2{t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{1}{2}\) ta có: \(\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + 2\sqrt 3 \\x = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Nhận xét:
+ Đối với phương trình $2{x^2} - 4x + 2 - 3x\sqrt {2x - 1} = 0$
ta có thể không cần đưa \(x\) vào trong dấu \(\sqrt {} \) khi đó ta phân tích: $2{x^2} - 4x + 2 = m{x^2} + n(2x - 1)$
và chia như trên thì bài toán vẫn được giải quyết.
Việc đưa vào \(\sqrt {} \) là giúp các em học sinh nhìn rõ hơn bản chất bài toán.
+ Ngoài ra cần lưu ý rằng:
Khi đưa một biểu thức \(P(x)\) vào trong dấu \(\sqrt[{2n}]{{}}\) thì điều kiện là \(P(x) \ge 0\).
Đây là một sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán.
b). Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\\5{x^2} + 4x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6\).
Phương trình đã cho được viết lại thành: \(\sqrt {5{x^2} + 4x} = \sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 5\sqrt x \)
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được: \(2{x^2} - 9x + 9 - 5\sqrt {x({x^2} - 3x - 18)} = 0\)
Nếu ta giả sử \(2{x^2} - 9x + 9 = mx + n({x^2} - 3x - 18)\) thì \(m,n\) phải thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 2\\m - 3n = - 9\\ - 18n = 9\end{array} \right.\) điều này là hoàn toàn vô lý.
Để khắc phục vấn đề này ta có chú ý sau :
\({x^2} - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)\) khi đó \(\sqrt {x({x^2} - 3x - 18)} = \sqrt {x(x - 6)(x + 3)} = \sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} \)
Bây giờ ta viết lại phương trình thành: \(2{x^2} - 9x + 9 - 5\sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} = 0\)
Giả sử:
\(2{x^2} - 9x + 9 = m({x^2} - 6x) + n(x + 3) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - 6m + n = - 9\\n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\)
Như vậy phương trình trở thành: \(2({x^2} - 6x) + 3(x + 3) - 5\sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} = 0\)
Chia cho \(x + 3 > 0\) ta thu được:
\(2\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right) - 5\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} + 3 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} \ge 0 \Rightarrow 2{t^2} - 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\\x = \frac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\) thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: \(t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = - \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = 9\)
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\) và \(x = 9\)
c). Điều kiện \(x \ge 5\).
Chuyển vế bình phương ta được: \(2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} \)
Giả sử: \(2{x^2} - 5x + 2 = m\left( {{x^2} - x - 20} \right) + n\left( {x + 1} \right)\)
Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - m + n = - 5\\ - 20m + n = 2\end{array} \right.\)không tồn tại \(m,n\) thỏa mãn hệ.
Nhưng ta có : \(\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)\)
Giả sử: \(2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + \beta \left( {x + 4} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - 4m + n = - 5\\ - 5m + 4n = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\)
Ta viết lại phương trình:\(2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} \).
Chia hai vế cho \(x + 4 > 0\) ta thu được: \(2\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right) - 5\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right)} + 3 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right)} \ge 0\)
ta thu được phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}\\x = \frac{{5 - \sqrt {61} }}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4{x^2} - 25x - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{7}{4}\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là: \(x = 8;x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}\)
a) $4(2{x^2} + 1) + 3({x^2} - 2x)\sqrt {2x - 1} = 2({x^3} + 5x)$
b) \(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \)
c) \(\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} \)
Lời giải:
a). Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}\)
Phương trình đã cho được viết lại như sau:
$\begin{array}{l}
2{x^3} - 8{x^2} + 10x - 4 - 3x(x - 2)\sqrt {2x - 1} = 0\\
\Leftrightarrow (x - 2)(2{x^2} - 4x + 2) - 3x(x - 2)\sqrt {2x - 1} = 0\\
\Leftrightarrow (x - 2)\left[ {(2{x^2} - 4x + 2) - 3x\sqrt {2x - 1} } \right] = 0
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\(2{x^2} - 4x + 2) - 3x\sqrt {2x - 1} = 0\end{array} \right.$
Xét phương trình: $2{x^2} - 4x + 2 - 3x\sqrt {2x - 1} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 3\sqrt {{x^2}(2x - 1)} = 0$
Ta giả sử: $2{x^2} - 4x + 2 = m{x^2} + n(2x - 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 2\end{array} \right.$
Phương trình trở thành: $2{x^2} - 2(2x - 1) - 3\sqrt {{x^2}(2x - 1)} = 0$. Chia cho \({x^2} > 0\)
Ta có: $2 - 2.\left( {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} = 0$.
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} \ge 0\) phương trình mới là: \( - 2{t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{1}{2}\) ta có: \(\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{{x^2}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + 2\sqrt 3 \\x = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Nhận xét:
+ Đối với phương trình $2{x^2} - 4x + 2 - 3x\sqrt {2x - 1} = 0$
ta có thể không cần đưa \(x\) vào trong dấu \(\sqrt {} \) khi đó ta phân tích: $2{x^2} - 4x + 2 = m{x^2} + n(2x - 1)$
và chia như trên thì bài toán vẫn được giải quyết.
Việc đưa vào \(\sqrt {} \) là giúp các em học sinh nhìn rõ hơn bản chất bài toán.
+ Ngoài ra cần lưu ý rằng:
Khi đưa một biểu thức \(P(x)\) vào trong dấu \(\sqrt[{2n}]{{}}\) thì điều kiện là \(P(x) \ge 0\).
Đây là một sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán.
b). Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\\5{x^2} + 4x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6\).
Phương trình đã cho được viết lại thành: \(\sqrt {5{x^2} + 4x} = \sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 5\sqrt x \)
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được: \(2{x^2} - 9x + 9 - 5\sqrt {x({x^2} - 3x - 18)} = 0\)
Nếu ta giả sử \(2{x^2} - 9x + 9 = mx + n({x^2} - 3x - 18)\) thì \(m,n\) phải thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 2\\m - 3n = - 9\\ - 18n = 9\end{array} \right.\) điều này là hoàn toàn vô lý.
Để khắc phục vấn đề này ta có chú ý sau :
\({x^2} - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)\) khi đó \(\sqrt {x({x^2} - 3x - 18)} = \sqrt {x(x - 6)(x + 3)} = \sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} \)
Bây giờ ta viết lại phương trình thành: \(2{x^2} - 9x + 9 - 5\sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} = 0\)
Giả sử:
\(2{x^2} - 9x + 9 = m({x^2} - 6x) + n(x + 3) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - 6m + n = - 9\\n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\)
Như vậy phương trình trở thành: \(2({x^2} - 6x) + 3(x + 3) - 5\sqrt {({x^2} - 6x)(x + 3)} = 0\)
Chia cho \(x + 3 > 0\) ta thu được:
\(2\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right) - 5\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} + 3 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} \ge 0 \Rightarrow 2{t^2} - 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\\x = \frac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\) thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: \(t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{x + 3}}} \right)} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = - \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = 9\)
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\) và \(x = 9\)
c). Điều kiện \(x \ge 5\).
Chuyển vế bình phương ta được: \(2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} \)
Giả sử: \(2{x^2} - 5x + 2 = m\left( {{x^2} - x - 20} \right) + n\left( {x + 1} \right)\)
Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - m + n = - 5\\ - 20m + n = 2\end{array} \right.\)không tồn tại \(m,n\) thỏa mãn hệ.
Nhưng ta có : \(\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)\)
Giả sử: \(2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + \beta \left( {x + 4} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\ - 4m + n = - 5\\ - 5m + 4n = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\)
Ta viết lại phương trình:\(2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} \).
Chia hai vế cho \(x + 4 > 0\) ta thu được: \(2\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right) - 5\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right)} + 3 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} \right)} \ge 0\)
ta thu được phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}\\x = \frac{{5 - \sqrt {61} }}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4{x^2} - 25x - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{7}{4}\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là: \(x = 8;x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}\)