Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^3} + 15} + 2 = \sqrt {{x^3} + 8} + 3x\)
b) \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} + 1 - x = 0\)
Giải
a). Phương trình được viết lại như sau:
\(\sqrt {{x^3} + 15} + 2 = \sqrt {{x^3} + 8} + 3x \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} + 15} - \sqrt {{x^3} + 8} = 3x - 2\).
Để phương trình có nghiệm ta cần: \(3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}\).
Nhẩm được \(x = 1\) nên ta viết lại phương trình thành: \(\sqrt {{x^3} + 15} - 4 = \sqrt {{x^3} + 8} - 3 + 3x - 3\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)\left[ {\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 15} + 4}} - \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 8} + 3}} - 3} \right] = 0\)
Để ý rằng: \(\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 15} + 4}} - \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 8} + 3}} - 3 < 0\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\)
b). Điều kiện \(x \in \left[ { - 3; - \frac{1}{3}} \right]\)
Ta viết lại phương trình như sau: \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} + 1 - x = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} }} + 1 - x = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} = 2\end{array} \right.\)
Xét phương trình: \(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} = 2\).
Bình phương 2 vế ta thu được:
\(4x + 4 + 2\sqrt {(3x + 1)(x + 3)} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {(3x + 1)(x + 3)} = - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 10x - 3 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 7 \)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là \(x = 1,x = 5 - 2\sqrt 7 \)
Nhận xét:
+ Ta thấy phương trình có nghiệm \(x = 1\).
Nếu ta phân tích phương trình thành \(\sqrt {3x + 1} - 2 + 2 - \sqrt {x + 3} + 4 - 4x = 0\)
thì sau khi liên hợp phương trình mới thu được sẽ là:
$\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{{1 - x}}{{2 + \sqrt {x + 3} }} + 4 - 4x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{1}{{2 + \sqrt {x + 3} }} - 4} \right) = 0$.
Rõ ràng phương trình hệ quả $\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{1}{{2 + \sqrt {x + 3} }} - 4 = 0$ phức tạp hơn phương trình ban đấu rất nhiều.
+ Để ý rằng khi \(x = 1\) thì \(\sqrt {3x + 1} = \sqrt {x + 3} \) nên ta sẽ liên hợp trực tiếp biểu thức \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} \).
a) \(\sqrt {{x^3} + 15} + 2 = \sqrt {{x^3} + 8} + 3x\)
b) \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} + 1 - x = 0\)
Giải
a). Phương trình được viết lại như sau:
\(\sqrt {{x^3} + 15} + 2 = \sqrt {{x^3} + 8} + 3x \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} + 15} - \sqrt {{x^3} + 8} = 3x - 2\).
Để phương trình có nghiệm ta cần: \(3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}\).
Nhẩm được \(x = 1\) nên ta viết lại phương trình thành: \(\sqrt {{x^3} + 15} - 4 = \sqrt {{x^3} + 8} - 3 + 3x - 3\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)\left[ {\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 15} + 4}} - \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 8} + 3}} - 3} \right] = 0\)
Để ý rằng: \(\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 15} + 4}} - \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 8} + 3}} - 3 < 0\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\)
b). Điều kiện \(x \in \left[ { - 3; - \frac{1}{3}} \right]\)
Ta viết lại phương trình như sau: \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} + 1 - x = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} }} + 1 - x = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} = 2\end{array} \right.\)
Xét phương trình: \(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} = 2\).
Bình phương 2 vế ta thu được:
\(4x + 4 + 2\sqrt {(3x + 1)(x + 3)} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {(3x + 1)(x + 3)} = - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 10x - 3 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 7 \)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là \(x = 1,x = 5 - 2\sqrt 7 \)
Nhận xét:
+ Ta thấy phương trình có nghiệm \(x = 1\).
Nếu ta phân tích phương trình thành \(\sqrt {3x + 1} - 2 + 2 - \sqrt {x + 3} + 4 - 4x = 0\)
thì sau khi liên hợp phương trình mới thu được sẽ là:
$\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{{1 - x}}{{2 + \sqrt {x + 3} }} + 4 - 4x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{1}{{2 + \sqrt {x + 3} }} - 4} \right) = 0$.
Rõ ràng phương trình hệ quả $\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} + \frac{1}{{2 + \sqrt {x + 3} }} - 4 = 0$ phức tạp hơn phương trình ban đấu rất nhiều.
+ Để ý rằng khi \(x = 1\) thì \(\sqrt {3x + 1} = \sqrt {x + 3} \) nên ta sẽ liên hợp trực tiếp biểu thức \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x + 3} \).
Sửa lần cuối: