Giải các phương trình sau: \(\frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{4x - 3}}}} = \frac{2}{x}\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{4x - 3}}}} = \frac{2}{x}\)
b) \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} = \sqrt 3 \left( {\frac{1}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {5x - 2} }}} \right)\)
c) \(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}} = \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{3}}} + \sqrt[4]{{\frac{{5x - 2}}{3}}}\)
d) $\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} - \sqrt { - {x^2} + 3x + 10} = \sqrt 2 $
Giải:
a) Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\).
Phương trình đã cho có thể viết lại như sau: \(\frac{x}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{x}{{\sqrt[4]{{4x - 3}}}} = 2\).
+ Ta chứng minh: \(\frac{x}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge 1\).
Thật vậy bất đẳng thức tương đương với \({x^2} \ge 2x - 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} \ge 0\).
Điều này là hiển nhiên đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)
Ta chứng minh: \(\frac{x}{{\sqrt[4]{{4x - 3}}}} \ge 1\).
Thật vậy bất đẳng thức tương đương với \(\begin{array}{l}{x^4} \ge 4x - 3 \Leftrightarrow {x^4} - 4x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 2x + 1)({x^2} + 2x + 3) \ge 0\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2}({x^2} + 2x + 3) \ge 0\end{array}\)
Điều này là hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)
Từ đó suy ra \(VT \ge 2\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)
b) \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} = \sqrt 3 \left( {\frac{1}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {5x - 2} }}} \right)\)
Ta thấy rằng: \(4x - 1 = x + x + 2x - 1;5x - 2 = x + 2x - 1 + 2x - 1\)
Theo bất đẳng thức cô si ta có
\(\begin{array}{l} & \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }}} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} } \right) \ge 9\\ \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge \frac{9}{{\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} }}\end{array}\)
Mặt khác ta có
\({(\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} )^2} \le 3(4x - 1) \Rightarrow \sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} \le \sqrt {3(4x - 1)} \)
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 3 số)
Từ đó suy ra: \(\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {4x - 1} }}\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {5x - 2} }}\)
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta có:
\(\frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {5x - 2} }}\)
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} \ge \sqrt 3 \left( {\frac{1}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {5x - 2} }}} \right)$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)
c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng:
\({({\rm{ax}} + by + cz)^2} \le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})\) ta có:
\({\left( {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}}} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} } \right)\).\( \Leftrightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}} \le \sqrt {3\left( {\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} } \right)} \)
Lại có \(\sqrt x + \sqrt x + \sqrt {2x - 1} \le \sqrt {3(4x - 1)} \) suy ra
\(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}} \le \sqrt {3\sqrt {3(4x - 1)} } = \sqrt[4]{{27(4x - 1)}}\) (1)
Tương tự: \(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}} + \sqrt[4]{{2x - 1}} \le \sqrt {3\sqrt {3(5x - 2)} } = \sqrt[4]{{27(5x - 2)}}\) (2)
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều (1), (2) ta có:
\(\begin{array}{l} & 3\left( {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}}} \right) \le \sqrt[4]{{27(4x - 1)}} + \sqrt[4]{{27(5x - 2)}}\\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2x - 1}} \le \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{3}}} + \sqrt[4]{{\frac{{5x - 2}}{3}}}\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\).
c) Ta có $VT = \sqrt {(x + 3)(7 - x)} - \sqrt {(x + 2)(5 - x)} = \frac{{x + 11}}{{\sqrt {(x + 3)(7 - x)} + \sqrt {(x + 2)(5 - x)} }}$
Điều kiện xác định là \( - 2 \le x \le 5\)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\sqrt {(x + 3)(7 - x)} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {(2x + 6)(7 - x)} \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {(2x + 6) + (7 - x)} \right] = \frac{{x + 13}}{{2\sqrt 2 }}$
và $\sqrt {(x + 2)(5 - x)} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {(2x + 4)(5 - x)} \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {(2x + 4) + (5 - x)} \right] = \frac{{x + 9}}{{2\sqrt 2 }}$
Như vậy: $\sqrt {(x + 3)(7 - x)} + \sqrt {(x + 2)(5 - x)} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}(x + 11)$
Từ đó ta suy ra: $VT = \frac{{x + 11}}{{\sqrt {(x + 3)(7 - x)} + \sqrt {(x + 2)(5 - x)} }} \ge \sqrt 2 $.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}(2x + 6) = (7 - x)\\(2x + 4) = (5 - x)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$
Vậy \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm duy nhất của phương trình: