Giải các phương trình sau: \(\sqrt[3]{{14 - {x^3}}} + x = 2(1 + \sqrt {{x^2} - 2x - 1} )\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt[3]{{14 - {x^3}}} + x = 2(1 + \sqrt {{x^2} - 2x - 1} )\)
b) \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} = 12(\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} )\)
Giải:
a) Điều kiện: \({x^2} - 2x - 1 \ge 0\)
Phương trình đã cho tương đương với: \(\sqrt[3]{{14 - {x^3}}} = 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + 2 - x\)
Do \(2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} \ge 0\) nên từ phương trình ta cũng suy ra: \(\sqrt[3]{{14 - {x^3}}} \ge 2 - x\)
Lập phương 2 vế ta thu được: \(14 - {x^3} \ge {(2 - x)^3} \Leftrightarrow 6({x^2} - 2x - 1) \le 0\)
Như vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \({x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = 1 + \sqrt 2 \) và \(x = 1 - \sqrt 2 \)
b) Điều kiện: \(0 \le x \le 4\).
Xét \(f(x) = x\sqrt x + \sqrt {x + 12} \) trên \(\left[ {0;4} \right]\)
Dễ thấy \(\sqrt {12} = f(0) \le f(x) \le f(4) = 12 \Rightarrow VT \le 12\) (1)
Xét \(g(x) = \sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} \) trên \(\left[ {0;4} \right]\) ta có
Dễ thấy \(1 = g(4) \le g(x) \le g(0) = \sqrt 5 \). Suy ra \(VP \ge 12\) (2)
Từ (1), (2) suy ra phương trình có nghiệm khi \(VT = VP = 12 \Leftrightarrow x = 4\).