Giải các phương trình sau: $\sqrt {3{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - x} - x\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {7{x^2} - x + 4} \righ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt {3{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - x} - x\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {7{x^2} - x + 4} \right)$
b) $\sqrt {13{x^2} - 6x + 10} + \sqrt {5{x^2} - 13x + \frac{{17}}{2}} + \sqrt {17{x^2} - 48x + 36} = \frac{1}{2}\left( {36x - 8{x^2} - 21} \right)$
c) $\sqrt {{x^2} + x - 1} + \sqrt { - {x^2} + x + 1} = {x^2} - x + 2$
Giải:
Điều kiện: $x \ge 1 \vee x \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai bộ số $\left( {1;1; - x} \right)$ và $\left( {\sqrt {3{x^2} - 1} ;\sqrt {{x^2} - x} ;\sqrt {{x^2} + 1} } \right)$
ta có: $VT(*) \le \sqrt {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {5{x^2} - x} \right)} $.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\).
Do $x \ge 1 \vee x \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ nên $5{x^2} - x > 0$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\begin{array}{l}VP(*) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {5{x^2} - x + 2\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\,\,\, \ge \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.2\sqrt {\left( {5{x^2} - x} \right)2\left( {{x^2} + 2} \right)} \\ & = \sqrt {\left( {5{x^2} - x} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)} \end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi $x = - 1$ và $x = \frac{4}{3}$.
Từ đó ta có nghiệm của PT(*) là: \(x = - 1\)
b) Ta có:
$VT = \sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^2} + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {4x - 6} \right)}^2}} $
$ \ge \left| {3x + 1} \right| + \left| {2x - \frac{5}{2}} \right| + \left| x \right|$$ \Rightarrow VT \ge \left| {3x + 1 + 2x - \frac{5}{2} + x} \right| = \left| {6x - \frac{3}{2}} \right| \ge 6x - \frac{3}{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2}\) . Mặt khác ta cũng có:
$VP = \frac{1}{2}\left[ {12x - 3 - 2\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {12x - 3 - 2{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \right] \le \frac{1}{2}\left( {12x - 3} \right) = 6x - \frac{3}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2}\).
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\)
c) Theo bất đẳng thức Cô si ta có: $\sqrt {{x^2} + x - 1} = \sqrt {1({x^2} + x - 1)} \le \frac{1}{2}\left[ {1 + ({x^2} + x - 1)} \right] = \frac{{{x^2} + x}}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1 = ({x^2} + x - 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$
$\sqrt { - {x^2} + x + 1} = \sqrt {1( - {x^2} + x + 1)} \le \frac{1}{2}\left[ {1 + ( - {x^2} + x + 1)} \right] = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1 = ( - {x^2} + x + 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.$
Từ đó suy ra \(VT \le \frac{{{x^2} + x}}{2} + \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{2} = (x + 1)\).
Mặt khác ta có ${x^2} - x + 2 - (x + 1) = {(x - 1)^2} \ge 0$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).