Giải các phương trình: \(\sqrt {5 - x} = {x^2} - 5\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình:
a) \(\sqrt {5 - x} = {x^2} - 5\)
b) \({x^4} - 2\sqrt 3 {x^2} + x + 3 - \sqrt 3 = 0\)
\(8{x^2} + 3x + \left( {4{x^2} + x - 2} \right)\sqrt {x + 4} = 4\)
Giải:
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\{x^2} \ge 5\end{array} \right.\)
Bình phương 2 vế ta thu được: \({5^2} - (2{x^2} + 1).5 + x + {x^4} = 0\)
Ta coi đây là phương trình bậc 2 của \(5\) ta có:
\(\Delta = {(2{x^2} + 1)^2} - 4(x + {x^4}) = 4{x^2} - 4x + 1 = {(2x + 1)^2}\)
Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l}5 = \frac{1}{2}(2{x^2} + 1 + 2x - 1) = {x^2} + x\\5 = \frac{1}{2}(2{x^2} + 1 - 2x + 1) = {x^2} - x + 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \({x^2} + x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \({x^2} - x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)
Đối chiếu với điều kiện ta có 4 nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
b) Ta viết lại phương trình thành: \(3 - (2{x^2} + 1)\sqrt 3 + x + {x^4} = 0\)
Ta coi đây là phương trình bậc 2 của \(\sqrt 3 \) ta có:
\(\Delta = {(2{x^2} + 1)^2} - 4(x + {x^4}) = 4{x^2} - 4x + 1 = {(2x + 1)^2}\)
Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt 3 = \frac{1}{2}(2{x^2} + 1 + 2x - 1) = {x^2} + x\\\sqrt 3 = \frac{1}{2}(2{x^2} + 1 - 2x + 1) = {x^2} - x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x - \sqrt 3 = 0\\{x^2} - x + 1 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\)
Giải 2 phương trình trên ta thu được các nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 + 4\sqrt 3 } }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {4\sqrt 3 - 3} }}{2}\)
c) Điều kiện \(x \ge - 4\)
Ta viết lại phương trình thành: \(x + 4 + \left( {4{x^2} + x - 2} \right)\sqrt {x + 4} + 8{x^2} + 2x - 8 = 0\). Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn \(\sqrt {x + 4} \) thì
\(\Delta = {\left( {4{x^2} + x - 2} \right)^2} - 4\left( {8{x^2} + 2x - 8} \right) = {\left( {4{x^2} + x - 6} \right)^2}\).
Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 4} = - 2x\\\sqrt {x + 4} = 2x + 1\end{array} \right.\)
Giải 2 trường hợp ta thu được các nghiệm của phương trình là:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt {65} }}{8}\\x = \frac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{8}\end{array} \right.\)