Giải các phương trình:
a) \(10{x^2} - 9x - 8x\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} + 3 = 0\)
b) \({x^3} + 6{x^2} - 2x + 3 - (5x - 1)\sqrt {{x^3} + 3} = 0\)
c) \(4\sqrt {x + 1} - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Lời Giải:
a) Điều kiện: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \) ta tạo ra phương trình:
\(m{t^2} - 8xt + (10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m = 0\)
Ta có \(\Delta = 16{x^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m} \right]\)
\( = 16{x^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m} \right]\)
\( = (2{m^2} - 10m + 16){x^2} + (9m - 3{m^2})x + {m^2} - 3m\)
Ta cần : \({\Delta _m} = {(9m - 3{m^2})^2} - 4(2{m^2} - 10m + 16)({m^2} - 3m) = 0 \Rightarrow m = 3\)
Phương trình đã cho trở thành: \(3{t^2} - 8xt + 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}x\\t = 2x\end{array} \right.\)
Trường hợp 1 \(t = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9(2{x^2} - 3x + 1) = 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\14{x^2} - 27x + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = \frac{3}{7}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(t = 2x \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\ - 3x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: \(x = \frac{3}{2},x = \frac{3}{7},x = \frac{1}{3}\)
b) Điều kiện: \(x \ge 1\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 3} \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} = {t^2} - 3\). Do hệ số của \({x^3}\) trong phương trình là: \(1\).
Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - (5x - 1)t + 6{x^2} - 2x = 0\)
\(\Delta = {(5x - 1)^2} - 4(6{x^2} - 2x) = {x^2} - 2x + 1 = {(x - 1)^2}\).
Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{(5x - 1) - (x - 1)}}{2} = 2x\\t = \frac{{(5x - 1) + (x - 1)}}{2} = 3x - 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {{x^3} + 3} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^3} - 4{x^2} + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}(L)\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(\sqrt {{x^3} + 3} = 3x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{x^3} - 9{x^2} + 6x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4 + 2\sqrt 3 \\x = 4 - 2\sqrt 3 (L)\end{array} \right.\)
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm: \(x = 1,x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2},x = 4 + 3\sqrt 2 \)
a) Điều kiện: \( - 1 \le x \le 1\).
Ta viết phương trình thành:
$4\sqrt {x + 1} - 2\sqrt {1 - x} = 3x + 1 + \sqrt {1 - {x^2}} $.
Bình phương 2 vế ta thu được phương trình mới:
$16(x + 1) + 4(1 - x) - 16\sqrt {1 - {x^2}} = 9{x^2} + 6x + 1 + 2(3x + 1)\sqrt {1 - {x^2}} + 1 - {x^2}$
$ \Leftrightarrow 8{x^2} - 6x - 18 + (6x + 18)\sqrt {1 - {x^2}} = 0$
Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} $ ta tạo ra phương trình:
$m{t^2} + (6x + 18)t + (8 + m){x^2} - 6x - 18 - m = 0$
Có $\Delta ' = {(3x + 9)^2} - m\left[ {(8 + m){x^2} - 6x - 18 - m} \right]$
$ = (9 - 8m - {m^2}){x^2} + (54 + 6m)x + {m^2} + 18m + 81$
Ta mong muốn
\(\Delta = {(Ax + B)^2} \Leftrightarrow \Delta {'_m} = {(3m + 27)^2} - (9 - 8m - {m^2})({m^2} + 18m + 81) = 0\)
Từ đó tính được \(m = - 8\)
Phương trình đã cho trở thành: $ - 8{t^2} + (6x + 18)t - 6x - 10 = 0$
Ta có \(\Delta ' = {(3x + 9)^2} - 8(6x + 10) = {(3x + 1)^2}\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3x - 9 - (3x + 1)}}{{ - 8}} = \frac{{3x + 5}}{4}\\t = \frac{{ - 3x - 9 + (3x + 1)}}{{ - 8}} = 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\) thỏa mãn điều kiện
Trường hợp 2: \(t = \frac{{3x + 5}}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt {1 - {x^2}} = 3x + 5 \Leftrightarrow 16(1 - {x^2}) = 9{x^2} + 30x + 25\)
\(16(1 - {x^2}) = 9{x^2} + 30x + 25 \Leftrightarrow 25{x^2} + 30x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{5}\)
Thử lại ta thấy: \(x = - \frac{3}{5}\) thỏa mãn phương trình:
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm \(x = 0,x = - \frac{3}{5}\)
Chú ý: Ở bước cuối cùng khi giải ra nghiệm ta phải thử lại vì phép bình phương lúc đầu khi ta giải là không tương đương.
a) \(10{x^2} - 9x - 8x\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} + 3 = 0\)
b) \({x^3} + 6{x^2} - 2x + 3 - (5x - 1)\sqrt {{x^3} + 3} = 0\)
c) \(4\sqrt {x + 1} - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Lời Giải:
a) Điều kiện: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \) ta tạo ra phương trình:
\(m{t^2} - 8xt + (10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m = 0\)
Ta có \(\Delta = 16{x^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m} \right]\)
\( = 16{x^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + (3m - 9)x + 3 - m} \right]\)
\( = (2{m^2} - 10m + 16){x^2} + (9m - 3{m^2})x + {m^2} - 3m\)
Ta cần : \({\Delta _m} = {(9m - 3{m^2})^2} - 4(2{m^2} - 10m + 16)({m^2} - 3m) = 0 \Rightarrow m = 3\)
Phương trình đã cho trở thành: \(3{t^2} - 8xt + 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}x\\t = 2x\end{array} \right.\)
Trường hợp 1 \(t = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9(2{x^2} - 3x + 1) = 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\14{x^2} - 27x + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = \frac{3}{7}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(t = 2x \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\ - 3x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: \(x = \frac{3}{2},x = \frac{3}{7},x = \frac{1}{3}\)
b) Điều kiện: \(x \ge 1\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 3} \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} = {t^2} - 3\). Do hệ số của \({x^3}\) trong phương trình là: \(1\).
Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - (5x - 1)t + 6{x^2} - 2x = 0\)
\(\Delta = {(5x - 1)^2} - 4(6{x^2} - 2x) = {x^2} - 2x + 1 = {(x - 1)^2}\).
Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{(5x - 1) - (x - 1)}}{2} = 2x\\t = \frac{{(5x - 1) + (x - 1)}}{2} = 3x - 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {{x^3} + 3} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^3} - 4{x^2} + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}(L)\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(\sqrt {{x^3} + 3} = 3x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{x^3} - 9{x^2} + 6x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4 + 2\sqrt 3 \\x = 4 - 2\sqrt 3 (L)\end{array} \right.\)
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm: \(x = 1,x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2},x = 4 + 3\sqrt 2 \)
a) Điều kiện: \( - 1 \le x \le 1\).
Ta viết phương trình thành:
$4\sqrt {x + 1} - 2\sqrt {1 - x} = 3x + 1 + \sqrt {1 - {x^2}} $.
Bình phương 2 vế ta thu được phương trình mới:
$16(x + 1) + 4(1 - x) - 16\sqrt {1 - {x^2}} = 9{x^2} + 6x + 1 + 2(3x + 1)\sqrt {1 - {x^2}} + 1 - {x^2}$
$ \Leftrightarrow 8{x^2} - 6x - 18 + (6x + 18)\sqrt {1 - {x^2}} = 0$
Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} $ ta tạo ra phương trình:
$m{t^2} + (6x + 18)t + (8 + m){x^2} - 6x - 18 - m = 0$
Có $\Delta ' = {(3x + 9)^2} - m\left[ {(8 + m){x^2} - 6x - 18 - m} \right]$
$ = (9 - 8m - {m^2}){x^2} + (54 + 6m)x + {m^2} + 18m + 81$
Ta mong muốn
\(\Delta = {(Ax + B)^2} \Leftrightarrow \Delta {'_m} = {(3m + 27)^2} - (9 - 8m - {m^2})({m^2} + 18m + 81) = 0\)
Từ đó tính được \(m = - 8\)
Phương trình đã cho trở thành: $ - 8{t^2} + (6x + 18)t - 6x - 10 = 0$
Ta có \(\Delta ' = {(3x + 9)^2} - 8(6x + 10) = {(3x + 1)^2}\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3x - 9 - (3x + 1)}}{{ - 8}} = \frac{{3x + 5}}{4}\\t = \frac{{ - 3x - 9 + (3x + 1)}}{{ - 8}} = 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\) thỏa mãn điều kiện
Trường hợp 2: \(t = \frac{{3x + 5}}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt {1 - {x^2}} = 3x + 5 \Leftrightarrow 16(1 - {x^2}) = 9{x^2} + 30x + 25\)
\(16(1 - {x^2}) = 9{x^2} + 30x + 25 \Leftrightarrow 25{x^2} + 30x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{5}\)
Thử lại ta thấy: \(x = - \frac{3}{5}\) thỏa mãn phương trình:
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm \(x = 0,x = - \frac{3}{5}\)
Chú ý: Ở bước cuối cùng khi giải ra nghiệm ta phải thử lại vì phép bình phương lúc đầu khi ta giải là không tương đương.