Giải phương trình: $(13 - 4x)\sqrt {2x - 3} + (4x - 3)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15} $

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Khi giải phương trình:
$(13 - 4x)\sqrt {2x - 3} + (4x - 3)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15} $
ta thực hiện các phân tích :
+ Giả sử:\(13 - 4x = m(2x - 3) + n(5 - 2x)\).
Đồng nhất hai vế ta suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2n = - 4\\ - 3m + 5n = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2},n = \frac{7}{2}\)
+ Tương tự ta giả sử: \((4x - 3) = m'(2x - 3) + n'(5 - 2x) \Rightarrow m' = \frac{7}{2},n' = \frac{3}{2}\)
Khi giải phương trình:\(7\sqrt {3x - 7} + (4x - 7)\sqrt {7 - x} = 32\).
Ta thực hiện phân tích: $m(3x - 7) + n(7 - x) = 7$ và $p(3x - 7) + q(7 - x) = 4x - 7$
Sau đó đồng nhất 2 vế để tìm m, n, p, q ta có: $m = \frac{1}{2};n = \frac{3}{2};p = \frac{3}{2};q = \frac{1}{2}$
Như vậy ngoài cách đặt ẩn phụ như trên ta có thể giải các bài toán theo cách khác như sau:
a) Điều kiện $\frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.
Đặt \(a = \sqrt {2x - 3} ,b = \sqrt {5 - 2x} \) thì \({a^2} + {b^2} = 2\).
Từ cách phân tích trên ta có hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\(3{a^2} + 7{b^2})a + (3{b^2} + 7{a^2})b = 4 + 16ab\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + b)^2} - 2ab = 2\\3{(a + b)^3} - 2ab(a + b) - 16ab - 4 = 0\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + b)^2} - 2ab = 2\\3{(a + b)^3} + \left[ {2 - {{(a + b)}^2}} \right](a + b) + 8\left[ {2 - {{(a + b)}^2}} \right] - 4 = 0\end{array} \right.\].
Đặt \(a + b = S,ab = P\) điều kiện \(S,P \ge 0;{S^2} \ge 4P\).
Ta có hệ mới sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P = 2\\2{S^3} - 8{S^2} + 2S + 12 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 2\\P = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1 \Leftrightarrow x = 2\)
b) Đặt \(a = \sqrt {3x - 7} ,b = \sqrt {7 - x} \) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = 64\\{a^2} + 3{b^2} = 14.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{a^2} + 3{b^2} = 14.\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình ta thu được: \(a,b \Rightarrow x\).