GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐỂ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình dạng:
\(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {ex + h} \) hoặc \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{gx + h}}\)
Với mục đích tạo ra các hệ đối xứng hoặc gần đối xứng ta thường làm theo cách:
Đối với những phương trình dạng: \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {ex + h} \).
Ta đặt \(my + n = \sqrt {ex + h} \) thì thu được quan hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = d(my + n)\\{m^2}{y^2} + 2mny + {n^2} = ex + h\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx - dmy + c - dn = 0\\{m^2}{y^2} + 2mny - ex + {n^2} - h = 0\end{array} \right.\)
Ta mong muốn có quan hệ \(x = y\). Nếu điều này xảy ra thì từ hệ trên ta sẽ có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{m^2}}} = \frac{{b - dm}}{{2mn}} = \frac{{c - dn}}{{{n^2} - h}}(*)\).
Công việc còn lại là chọn \(m,n\) chẵn thỏa mãn \((*)\)
Đối với những phương trình dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{gx + h}}\)
Ta đặt: \(my + n = \sqrt[3]{{gx + h}}\) thì thu được hệ:
\(\begin{array}{l} & \left\{ \begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e(my + n)\\{m^3}{y^3} + 3{m^2}n{y^2} + 3m{n^2}{y^2} + {n^3} = gx + h\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx - emy + d - en = 0\\{m^3}{y^3} + 3{m^2}n{y^2} + 3m{n^2}{y^2} - gx + {n^3} - h = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Để thu được quan hệ \(x = y\) ta cần: \(\frac{a}{{{m^3}}} = \frac{b}{{3{m^2}n + 3m{n^2}}} = \frac{{c - em}}{{ - g}} = \frac{{d - en}}{{{n^3} - h}}\)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) \(2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} \)
b) \(\frac{2}{3}\sqrt {4x + 1} - 9{x^2} + 26x - \frac{{37}}{3} = 0\)
c) $\sqrt[3]{{3x - 5}} = 8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25$
d) \(27\sqrt[3]{{81x - 8}} = 27{x^3} - 54{x^2} + 36x - 54\)
Học lớp hướng dẫn giải
a) Điều kiện: \(x \ge - \frac{5}{4}\). Đặt \(my + n = \sqrt {4x + 5} \) khi đó ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 6x - 1 = my + n\\{m^2}{y^2} + 2mny + {n^2} = 4x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - 12x - 2my - 2 - 2n = 0\\{m^2}{y^2} + 2mny - 4x + {n^2} - 5 = 0\end{array} \right.\)
Ta cần tìm \(m,n\) để tạo ra quan hệ \(x = y\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{{{m^2}}} = \frac{{ - 12 - 2m}}{{2mn - 4}} = \frac{{ - 2 - 2n}}{{{n^2} - 5}}\)
Chọn \(m = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2 - 2n}}{{{n^2} - 5}} = 1\\\frac{{ - 16}}{{4n - 4}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{n^2} + 2n - 3 = 0\\4n = - 12\end{array} \right. \Rightarrow n = - 3\)

Chú ý:
Việc nhân số \(2\) vào phương trình (1) của hệ để tạo ra \(4{x^2} - 12x - 1\) là rất cần thiết để chọn \(m\) được chẵn và nhóm \(4{x^2} - 12x - 2\) thành bình phương biểu thức bậc 2 được dễ hơn.
Từ đó ta có lời giải cho bài toán như sau:
Đặt \(2y - 3 = \sqrt {4x + 5} \) thì thu được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - 12x - 2 = 2(2y - 3)\\{(2y - 3)^2} = 4x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x - 3)^2} = 4y + 5\\{(2y - 3)^2} = 4x + 5\end{array} \right.$.
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có:
${(2x - 3)^2} - {(2y - 3)^2} = 4(y - x) \Leftrightarrow 2(x - y)(4x + 4y - 4) = 0$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 2\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(x = y \Leftrightarrow 2x - 3 = \sqrt {4x + 5} \left\{ \begin{array}{l}{(2x - 3)^2} = 4x + 5\\x \ge \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + \sqrt 3 \)
Trường hợp:
\(y = 2 - x \Leftrightarrow 2(2 - x) - 3 = \sqrt {4x + 5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(1 - 2x)^2} = 4x + 5\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 2 \)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = 2 + \sqrt 3 ,x = 1 - \sqrt 2 \)

b) Điều kiện: \(x \ge - \frac{1}{4}\).
Phương trình đã cho được viết lại như sau: $9{x^2} - 26x + \frac{{47}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt {4x + 1}$
Đặt \(my + n = \sqrt {4x + 1} \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 26x + \frac{{37}}{3} = \frac{2}{3}(my + n)\\{m^2}{y^2} + 2mny + {n^2} = 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 26x - \frac{2}{3}my + \frac{{37}}{3} - \frac{2}{3}n = 0\\{m^2}{y^2} + 2mny - 4x + {n^2} - 1 = 0\end{array} \right.\)
Ta cần: \(\frac{9}{{{m^2}}} = \frac{{ - 26 - \frac{2}{3}m}}{{2mn - 4}} = \frac{{\frac{{37}}{3} - \frac{2}{3}n}}{{{n^2} - 1}}\). Chọn \(m = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 28}}{{6n - 4}} = 1\\\frac{{ - \frac{{37}}{3} - \frac{2}{3}n}}{{{n^2} - 1}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow n = - 4\)
Đặt \(3y - 4 = \sqrt {4x + 1} \Rightarrow \)
Hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3x - 4} \right)^2} = 2x + 2y + 1\\{\left( {3y - 4} \right)^2} = 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3y - 4} \right)^2} = 4x + 1\\\left( {x - y} \right)\left( {9x + 9y - 22} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3y - 4} \right)^2} = 4x + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = y\\9x + 9y - 22 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Giải phương trình ứng với 2 trường hợp trên ta thu được các nghiệm là
\(x = \frac{{14 + \sqrt {61} }}{9}\) và \(x = \frac{{12 - \sqrt {53} }}{9}\)
Chú ý: Ta có thể tìm \(m,n\) nhanh hơn bằng cách:

c) Đặt \(my + n = \sqrt {4x + 5} \) khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{(2x - 3)^2} = 2(my + n) + 11\\{(my + n)^2} = 4x + 5\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình cho nhau: \({(2x - 3)^2} - {(my + n)^2} = 2my - 4x + 2n + 6\)
Để có quan hệ: \(x = y\) ta cần: \(\left\{ \begin{array}{l}2my = 4x\\2n + 6 = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = 2;n = - 3\).
Tương tự khi giải quyết câu b).

d) Đặt \(my + n = \sqrt[3]{{3x - 5}}\) ta có hệ sau:
$\sqrt[3]{{3x - 5}} = 8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{x^3} - 36{x^2} + 53x - my - n - 25 = 0\\{m^3}{y^3} + 3{m^2}n{y^2} + 3m{n^2}y - 3x + {n^3} + 5 = 0\end{array} \right.$
Ta chọn \(m,n\) sao cho $\frac{8}{{{m^3}}} = \frac{{ - 36}}{{3{m^2}n}} = \frac{{53 - m}}{{3m{n^2} - 3}} = \frac{{ - n - 25}}{{{n^3} + 5}} \Rightarrow m = 2,n = - 3$
Đặt \(2y - 3 = \sqrt[3]{{3x - 5}}\). Ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{(2x - 3)^3} = 2y - 3 + x - 2\\{(2y - 3)^3} = 3x - 5\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình cho nhau ta thu được: \({(2x - 3)^3} - {(2y - 3)^3} = 2y - 2x\)
\( \Leftrightarrow 2(x - y)\left[ {{{(2x - 3)}^2} + (2x - 3)(2y - 3) + {{(2y - 3)}^2} + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Do \({(2x - 3)^2} + (2x - 3)(2y - 3) + {(2y - 3)^2} + 1\)
\( = {\left[ {(2x - 3) + \left( {\frac{{2y - 3}}{2}} \right)} \right]^2} + \frac{3}{4}{\left( {2y - 3} \right)^2} + 1 > 0\)
Giải \(x = y\) ta có: ${\left( {2x - 3} \right)^2} = 3x - 5 \Leftrightarrow 8{x^3} - 36{x^2} + 54x - 27 = 3x - 5$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {8{x^2} - 20x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x = 2$, $x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}$

d) Ta viết lại phương trình thành: \(27\sqrt[3]{{81x - 8}} = {(3x - 2)^3} - 46\)
Đặt \(3y - 2 = \sqrt[3]{{81x - 8}}\) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3y - 2} \right)^3} = 81x - 8\\{\left( {3x - 2} \right)^3} = 27(3y - 2) + 46\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \)$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3y - 2} \right)^3} = 81x - 8\\{\left( {3x - 2} \right)^3} = 81x - 8\end{array} \right.$.
Trừ hai phương trình của hệ ta thu được: ${\left( {3x - 2} \right)^3} - {\left( {3y - 2} \right)^3} = 81(y - x)$
$ \Leftrightarrow 3(x - y)\left[ {{{\left( {3x - 2} \right)}^2} + \left( {3x - 2} \right)\left( {3y - 2} \right) + {{\left( {3y - 2} \right)}^2} + 27} \right] = 0 \Leftrightarrow x = y$.
Thay vào ta được:
${\left( {3x - 2} \right)^3} = 27(3x - 2) + 46 \Leftrightarrow 27{x^3} - 54{x^2} - 33x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{3 \pm 2\sqrt 5 }}{3}\end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là: \(x = 0\), $x = \frac{{3 \pm 2\sqrt 5 }}{3}$
Chú ý:
  • Với những phương trình dạng: \({\left[ {f(x)} \right]^n} + b = a\sqrt[n]{{af(x) - b}}\) (*)
  • Bằng phép đặt \(t = f(x);\,\,y = \sqrt[n]{{af(x) - b}}\) ta có hệ đối xứng loại 2 là: \(\left\{ \begin{array}{l}{t^n} + b = ay\\{y^n} + b = at\end{array} \right.\)
  • Trong phương trình (*) nếu ta thay a, b bởi các biểu thức chứa \(x\) thì cách giải phương trình vẫn như trên. Những phương trình dạng này thường có hình thức và lời giải khá đẹp.
 
Sửa lần cuối: