Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} \)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình:
a) \(\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} \)
b) \({x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{(x + 2)}^3}} - 6x = 0\)
Lời giải:
a). Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\).
Bình phương 2 vế phương trình ta thu được:
\({x^2} + 4x - 1 + 2\sqrt {({x^2} + 2x)(2x - 1)} = 3{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \sqrt {({x^2} + 2x)(2x - 1)} = 0\)
Ta giả sử: \({x^2} + 1 = m({x^2} + 2x) + n(2x - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = - 1\\2m + 2n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = - 1\end{array} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(({x^2} + 2x) - (2x - 1) - \sqrt {({x^2} + 2x)(2x - 1)} = 0 \Leftrightarrow - \left( {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2x}}} \right) - \sqrt {\left( {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2x}}} \right)} + 1 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2x}}} \right)} \ge 0 \Rightarrow - {t^2} - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
Về cơ bản đến đây ta hoàn toàn tìm được \(x\).
Nhưng với giá trị \(\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}}} > 0\)
như vậy việc tính toán sẽ gặp khó khăn.
Để khắc phục ta có thể xử lý theo hướng khác như sau:
Ta viết lại: \(\sqrt {({x^2} + 2x)(2x - 1)} = \sqrt {(x + 2)(2{x^2} - x)} \)
lúc này bằng cách phân tích như trên ta thu được phương trình:
\(\frac{1}{2}(2{x^2} - x) + \frac{1}{2}(x + 2) - \sqrt {(x + 2)(2{x^2} - x)} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - x}}{{x + 2}} - 2\sqrt {\frac{{2{x^2} - x}}{{x + 2}}} + 1 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{2{x^2} - x}}{{x + 2}}} \ge 0 \Rightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\).
Kiểm tra điều kiện ta thấy chỉ có giá trị \(x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) là thỏa mãn điều kiện.
b). Điều kiện: \(x \ge - 2\).
Ta viết lại phương trình thành: \({x^3} - 3x(x + 2) + 2\sqrt {{{(x + 2)}^3}} = 0\)
Để ý rằng:
Nếu ta đặt \(y = \sqrt {x + 2} \) thì phương trình trở thành: \({x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0\).
Đây là một phương trình đẳng cấp bậc \(3\).
Từ định hướng trên ta có lời giải cho bài toán như sau:
+ Xét trường hợp: \(x = 0\) không thỏa mãn phương trình:
+ Xét \(x \ne 0\). Ta chia phương trình cho \({x^3}\) thì thu được:
\(1 - 3\frac{{(x + 2)}}{{{x^2}}} + 2\frac{{\sqrt {{{(x + 2)}^3}} }}{{{x^3}}} = 0\).
Đặt \(t = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{x}\) ta có phương trình:
\(2{t^3} - 3{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = - \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2} = - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 4x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt 3 \)
Trường hợp 1: \(t = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \(x = 2;x = 2 - 2\sqrt 3 \)