Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như:
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^3} + q{x^2} + rx + t} \) (1)
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^4} + q{x^3} + r{x^2} + ex + h} \) (2)
+ \(A\sqrt {a{x^2} + bx + c} + B\sqrt {e{x^2} + gx + h} = C\sqrt {r{x^2} + px + q} \) \((*)\)
Thực chất phương trình \((*)\) khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng \((1)\) hoặc (2).
Để giải các phương trình (1), (2).
Phương pháp chung là:
+ Phân tích biểu thức trong dấu \(\sqrt {} \) thành tích của \(2\) đa thức \(P(x),Q(x)\)
+ Ta biến đổi \(a{x^2} + bx + c = mP(x) + nQ(x)\) bằng cách đồng nhất hai vế.
Khi đó phương trình trở thành: \(mP(x) + nQ(x) = d\sqrt {P(x).Q(x)} \)
Chia hai vế cho biểu thức \(Q(x) > 0\) ta thu được phương trình:
\(m\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} + n = d\sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \).
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \ge 0\) thì thu được phương trình:
\(m{t^2} - dt + n = 0\).
Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:
\(a{P^n}(x) + b{Q^n}(x) + c{P^{n - k}}(x){Q^k}(x) + d\sqrt[{2n}]{{P(x).Q(x)}} = 0\) thì ta luôn giải được theo cách trên.
Một số ví dụ:
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)
b) \(x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} = 3\sqrt x \)
c) \(4{x^2} + 3\left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x + 1} = 2\left( {{x^3} + 1} \right)\)
Lời giải:
a). Điều kiện: \(x \ge - 2\).
Ta viết lại phương trình thành: \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \)
Giả sử \({x^2} - 3x + 2 = m(x + 2) + n({x^2} - 2x + 4)\).
Suy ra \(m,n\) phải thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m - 2n = - 3\\2m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có dạng:
\( - 2(x + 2) + 2({x^2} - 2x + 4) - 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} = 0\).
Chia phương trình cho \({x^2} - 2x + 4 > 0\)
ta thu được: \( - 2\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} + 2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} \ge 0\)
ta thu được phương trình: \( - 2{t^2} - 3t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) do \(t \ge 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4(x + 2)\).
\({x^2} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {13} \\x = 3 - \sqrt {13} \end{array} \right.\)
b). Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x + 1 \ge 0\end{array} \right.\)
Bình phương 2 vế của phương trình ta thu được:
\({x^2} + 2x + 1 + 2(x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} + {x^2} - 4x + 1 = 9x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 2 + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Giả sử
\(2{x^2} - 11x + 2 = m({x^2} + 2x + 1) + n({x^2} - 4x + 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = 2\\2m - 4n = - 11\\m + n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
Phương trình trở thành:
\( - \frac{1}{2}({x^2} + 2x + 1) + \frac{5}{2}({x^2} - 4x + 1) + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Chia phương trình cho \({x^2} + 2x + 1 > 0\) ta thu được:
\( - 1 + 5\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) + 4\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} \ge 0\) ta có
Phương trình \(5{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) = \frac{1}{{25}}\)
\( \Leftrightarrow 24{x^2} - 102x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = 4\end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{1}{4},x = 4\)
Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi:
\((x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} \) là vì \(x + 1 > 0\)
c). Điều kiện: \(x \ge - 1\)
Ta viết lại phương trình thành:
\(\left( {x - 1} \right)\left[ {2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} } \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0\end{array} \right.\)
Xét phương trình:
\(2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x\sqrt {x + 1} - 2(x + 1) = 0\).
Dễ thấy \(x = - 1\) không phải là nghiệm.
Xét \(x > - 1\) ta chia cho \(x + 1\) thì thu được phương trình:
\(2\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 3\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2\\\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\\\(2)\end{array}\)
Giải (1):\(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + 2\sqrt 2 \)
Giải (2): \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt 2 \)
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:
\(x = 1;x = 2 \pm 2\sqrt 2 \)
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^3} + q{x^2} + rx + t} \) (1)
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^4} + q{x^3} + r{x^2} + ex + h} \) (2)
+ \(A\sqrt {a{x^2} + bx + c} + B\sqrt {e{x^2} + gx + h} = C\sqrt {r{x^2} + px + q} \) \((*)\)
Thực chất phương trình \((*)\) khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng \((1)\) hoặc (2).
Để giải các phương trình (1), (2).
Phương pháp chung là:
+ Phân tích biểu thức trong dấu \(\sqrt {} \) thành tích của \(2\) đa thức \(P(x),Q(x)\)
+ Ta biến đổi \(a{x^2} + bx + c = mP(x) + nQ(x)\) bằng cách đồng nhất hai vế.
Khi đó phương trình trở thành: \(mP(x) + nQ(x) = d\sqrt {P(x).Q(x)} \)
Chia hai vế cho biểu thức \(Q(x) > 0\) ta thu được phương trình:
\(m\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} + n = d\sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \).
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \ge 0\) thì thu được phương trình:
\(m{t^2} - dt + n = 0\).
Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:
\(a{P^n}(x) + b{Q^n}(x) + c{P^{n - k}}(x){Q^k}(x) + d\sqrt[{2n}]{{P(x).Q(x)}} = 0\) thì ta luôn giải được theo cách trên.
Một số ví dụ:
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)
b) \(x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} = 3\sqrt x \)
c) \(4{x^2} + 3\left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x + 1} = 2\left( {{x^3} + 1} \right)\)
Lời giải:
a). Điều kiện: \(x \ge - 2\).
Ta viết lại phương trình thành: \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \)
Giả sử \({x^2} - 3x + 2 = m(x + 2) + n({x^2} - 2x + 4)\).
Suy ra \(m,n\) phải thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m - 2n = - 3\\2m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có dạng:
\( - 2(x + 2) + 2({x^2} - 2x + 4) - 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} = 0\).
Chia phương trình cho \({x^2} - 2x + 4 > 0\)
ta thu được: \( - 2\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} + 2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} \ge 0\)
ta thu được phương trình: \( - 2{t^2} - 3t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) do \(t \ge 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4(x + 2)\).
\({x^2} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {13} \\x = 3 - \sqrt {13} \end{array} \right.\)
b). Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x + 1 \ge 0\end{array} \right.\)
Bình phương 2 vế của phương trình ta thu được:
\({x^2} + 2x + 1 + 2(x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} + {x^2} - 4x + 1 = 9x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 2 + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Giả sử
\(2{x^2} - 11x + 2 = m({x^2} + 2x + 1) + n({x^2} - 4x + 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = 2\\2m - 4n = - 11\\m + n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
Phương trình trở thành:
\( - \frac{1}{2}({x^2} + 2x + 1) + \frac{5}{2}({x^2} - 4x + 1) + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Chia phương trình cho \({x^2} + 2x + 1 > 0\) ta thu được:
\( - 1 + 5\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) + 4\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} \ge 0\) ta có
Phương trình \(5{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) = \frac{1}{{25}}\)
\( \Leftrightarrow 24{x^2} - 102x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = 4\end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{1}{4},x = 4\)
Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi:
\((x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} \) là vì \(x + 1 > 0\)
c). Điều kiện: \(x \ge - 1\)
Ta viết lại phương trình thành:
\(\left( {x - 1} \right)\left[ {2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} } \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0\end{array} \right.\)
Xét phương trình:
\(2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x\sqrt {x + 1} - 2(x + 1) = 0\).
Dễ thấy \(x = - 1\) không phải là nghiệm.
Xét \(x > - 1\) ta chia cho \(x + 1\) thì thu được phương trình:
\(2\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 3\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2\\\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\\\(2)\end{array}\)
Giải (1):\(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + 2\sqrt 2 \)
Giải (2): \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt 2 \)
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:
\(x = 1;x = 2 \pm 2\sqrt 2 \)