Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như:
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^3} + q{x^2} + rx + t} \) (1)
+ \(a{x^2} + bx + c = d\sqrt {p{x^4} + q{x^3} + r{x^2} + ex + h} \) (2)
+ \(A\sqrt {a{x^2} + bx + c} + B\sqrt {e{x^2} + gx + h} = C\sqrt {r{x^2} + px + q} \) \((*)\)
Thực chất phương trình \((*)\) khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng \((1)\) hoặc (2).
Để giải các phương trình (1), (2).
Phương pháp chung là:
+ Phân tích biểu thức trong dấu \(\sqrt {} \) thành tích của \(2\) đa thức \(P(x),Q(x)\)
+ Ta biến đổi \(a{x^2} + bx + c = mP(x) + nQ(x)\) bằng cách đồng nhất hai vế.
Khi đó phương trình trở thành: \(mP(x) + nQ(x) = d\sqrt {P(x).Q(x)} \)
Chia hai vế cho biểu thức \(Q(x) > 0\) ta thu được phương trình:
\(m\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} + n = d\sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \).
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} \ge 0\) thì thu được phương trình:
\(m{t^2} - dt + n = 0\).
Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:
\(a{P^n}(x) + b{Q^n}(x) + c{P^{n - k}}(x){Q^k}(x) + d\sqrt[{2n}]{{P(x).Q(x)}} = 0\) thì ta luôn giải được theo cách trên.
Một số ví dụ:
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)
b) \(x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} = 3\sqrt x \)
c) \(4{x^2} + 3\left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x + 1} = 2\left( {{x^3} + 1} \right)\)

Lời giải:
a). Điều kiện: \(x \ge - 2\).
Ta viết lại phương trình thành: \(2({x^2} - 3x + 2) = 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \)
Giả sử \({x^2} - 3x + 2 = m(x + 2) + n({x^2} - 2x + 4)\).
Suy ra \(m,n\) phải thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m - 2n = - 3\\2m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có dạng:
\( - 2(x + 2) + 2({x^2} - 2x + 4) - 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} = 0\).
Chia phương trình cho \({x^2} - 2x + 4 > 0\)
ta thu được: \( - 2\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} + 2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} \ge 0\)
ta thu được phương trình: \( - 2{t^2} - 3t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) do \(t \ge 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{(x + 2)}}{{({x^2} - 2x + 4)}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4(x + 2)\).
\({x^2} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {13} \\x = 3 - \sqrt {13} \end{array} \right.\)
b). Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x + 1 \ge 0\end{array} \right.\)
Bình phương 2 vế của phương trình ta thu được:
\({x^2} + 2x + 1 + 2(x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} + {x^2} - 4x + 1 = 9x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 2 + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Giả sử
\(2{x^2} - 11x + 2 = m({x^2} + 2x + 1) + n({x^2} - 4x + 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = 2\\2m - 4n = - 11\\m + n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
Phương trình trở thành:
\( - \frac{1}{2}({x^2} + 2x + 1) + \frac{5}{2}({x^2} - 4x + 1) + 2\sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} = 0\)
Chia phương trình cho \({x^2} + 2x + 1 > 0\) ta thu được:
\( - 1 + 5\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) + 4\sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right)} \ge 0\) ta có
Phương trình \(5{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) = \frac{1}{{25}}\)
\( \Leftrightarrow 24{x^2} - 102x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = 4\end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{1}{4},x = 4\)
Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi:
\((x + 1)\sqrt {{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {({x^2} + 2x + 1)({x^2} - 4x + 1)} \) là vì \(x + 1 > 0\)
c). Điều kiện: \(x \ge - 1\)
Ta viết lại phương trình thành:
\(\left( {x - 1} \right)\left[ {2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} } \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0\end{array} \right.\)
Xét phương trình:
\(2{x^2} - 2x - 2 - 3x\sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x\sqrt {x + 1} - 2(x + 1) = 0\).
Dễ thấy \(x = - 1\) không phải là nghiệm.
Xét \(x > - 1\) ta chia cho \(x + 1\) thì thu được phương trình:
\(2\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 3\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2\\\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\\\(2)\end{array}\)
Giải (1):\(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + 2\sqrt 2 \)
Giải (2): \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt 2 \)
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:
\(x = 1;x = 2 \pm 2\sqrt 2 \)