Giải các phương trình:
a) \((x + 2)(\sqrt {2x + 3} - 2\sqrt {x + 1} ) + \sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - 1 = 0\)
b) \(({x^2} + 4)\sqrt {2x + 4} = 3{x^2} + 6x - 4\)
c) \(({x^2} - 6x + 11)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2({x^2} - 4x + 7)\sqrt {x - 2} \)
Giải:
a). Đặt \(\sqrt {2x + 3} = a,\sqrt {x + 1} = b \Rightarrow a,b \ge 0\)
Phương trình đã cho trở thành: \(({a^2} - {b^2})(a - 2b) - ({a^2} - ab - 2{b^2}) = 0\)
\( \Leftrightarrow (a - 2b)(a - b)(a + b) - (a - b)(a - 2b) = 0 \Leftrightarrow (a - 2b)(a - b)(a + b - 1) = 0\)
Ta quy bài toán về giải 3 phương trình cơ bản là:
\(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0\\2\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0\\\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} - 1 = 0\end{array} \right.\)
Với điều kiện: \(x \ge - 1 \Rightarrow a \ge 1,b \ge 0\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = x + 1 \Leftrightarrow x = - 2(L)\)
Trường hợp 2: \(2\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 8x + 12 = x + 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{11}}{7}(L)\)
Trường hợp 3: \(\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} - 1 = 0\).
Vì \(\sqrt {2x + 3} \ge 1,\sqrt {x + 1} \ge 0 \Rightarrow VT \ge 0\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = - 1\).
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1\)
b). Điều kiện \(x \ge - 2\)
Ta thấy rằng nếu bình phương trực tiếp sẽ dẫn đến phương trình bậc \(5\)
Để khắc phục ta sẽ tìm cách tách \({x^2} + 4\) ra khỏi \(\sqrt {2x + 4} \)
Từ đó ta viết lại phương trình như sau: \(({x^2} + 4)\sqrt {2x + 4} + {x^2} + 4 = 4{x^2} + 6x\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(2x + 3) \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(\sqrt {{{(2x + 4)}^2}} - 1)\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(\sqrt {2x + 4} + 1)(\sqrt {2x + 4} - 1)\)
Do \(\sqrt {2x + 4} + 1 > 0\).
Phương trình đã cho tương đương với
$ \Leftrightarrow {x^2} + 4 = 2x(\sqrt {2x + 4} - 1) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 - 2x\sqrt {2x + 4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {2x + 4} } \right)^2} = 0$
\(x - \sqrt {2x + 4} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt 5 \)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1 + \sqrt 5 \)
c). Điều kiện: \(x \ge 2\)
Giả sử \({x^2} - 6x + 11 = m({x^2} - x + 1) + n(x - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\ - m + n = - 6\\m - 2n = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1,n = - 5\)
\({x^2} - 4x + 7 = p({x^2} - x + 1) + q(x - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 1\\ - p + q = - 4\\p - 2q = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow p = 1,q = - 3\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(\left[ {({x^2} - x + 1) - 5(x - 2)} \right]\sqrt {{x^2} - x + 1} - 2\left[ {({x^2} - x + 1) - 3(x - 2)} \right]\sqrt {x - 2} = 0\)
Chia phương trình cho \(\sqrt {{{({x^2} - x + 1)}^3}} \) ta thu được:
\(1 - 5.\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}} - 2\sqrt {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} + 6\sqrt {{{\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} \right)}^3}} = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} \ge 0\)
Ta thu được phương trình: \(6{t^3} - 5{t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\\t = - \frac{1}{2}(L)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(t = 1 \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0(VN)\)
+ Nếu \(t = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 19 = 0 \Leftrightarrow x = 5 \pm \sqrt 6 \)
Kết luận: \(x = 5 \pm \sqrt 6 \)
a) \((x + 2)(\sqrt {2x + 3} - 2\sqrt {x + 1} ) + \sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - 1 = 0\)
b) \(({x^2} + 4)\sqrt {2x + 4} = 3{x^2} + 6x - 4\)
c) \(({x^2} - 6x + 11)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2({x^2} - 4x + 7)\sqrt {x - 2} \)
Giải:
a). Đặt \(\sqrt {2x + 3} = a,\sqrt {x + 1} = b \Rightarrow a,b \ge 0\)
Phương trình đã cho trở thành: \(({a^2} - {b^2})(a - 2b) - ({a^2} - ab - 2{b^2}) = 0\)
\( \Leftrightarrow (a - 2b)(a - b)(a + b) - (a - b)(a - 2b) = 0 \Leftrightarrow (a - 2b)(a - b)(a + b - 1) = 0\)
Ta quy bài toán về giải 3 phương trình cơ bản là:
\(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0\\2\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0\\\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} - 1 = 0\end{array} \right.\)
Với điều kiện: \(x \ge - 1 \Rightarrow a \ge 1,b \ge 0\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = x + 1 \Leftrightarrow x = - 2(L)\)
Trường hợp 2: \(2\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow 8x + 12 = x + 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{11}}{7}(L)\)
Trường hợp 3: \(\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} - 1 = 0\).
Vì \(\sqrt {2x + 3} \ge 1,\sqrt {x + 1} \ge 0 \Rightarrow VT \ge 0\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = - 1\).
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1\)
b). Điều kiện \(x \ge - 2\)
Ta thấy rằng nếu bình phương trực tiếp sẽ dẫn đến phương trình bậc \(5\)
Để khắc phục ta sẽ tìm cách tách \({x^2} + 4\) ra khỏi \(\sqrt {2x + 4} \)
Từ đó ta viết lại phương trình như sau: \(({x^2} + 4)\sqrt {2x + 4} + {x^2} + 4 = 4{x^2} + 6x\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(2x + 3) \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(\sqrt {{{(2x + 4)}^2}} - 1)\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 4)(\sqrt {2x + 4} + 1) = 2x(\sqrt {2x + 4} + 1)(\sqrt {2x + 4} - 1)\)
Do \(\sqrt {2x + 4} + 1 > 0\).
Phương trình đã cho tương đương với
$ \Leftrightarrow {x^2} + 4 = 2x(\sqrt {2x + 4} - 1) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 - 2x\sqrt {2x + 4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {2x + 4} } \right)^2} = 0$
\(x - \sqrt {2x + 4} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt 5 \)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1 + \sqrt 5 \)
c). Điều kiện: \(x \ge 2\)
Giả sử \({x^2} - 6x + 11 = m({x^2} - x + 1) + n(x - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\ - m + n = - 6\\m - 2n = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1,n = - 5\)
\({x^2} - 4x + 7 = p({x^2} - x + 1) + q(x - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 1\\ - p + q = - 4\\p - 2q = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow p = 1,q = - 3\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(\left[ {({x^2} - x + 1) - 5(x - 2)} \right]\sqrt {{x^2} - x + 1} - 2\left[ {({x^2} - x + 1) - 3(x - 2)} \right]\sqrt {x - 2} = 0\)
Chia phương trình cho \(\sqrt {{{({x^2} - x + 1)}^3}} \) ta thu được:
\(1 - 5.\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}} - 2\sqrt {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} + 6\sqrt {{{\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} \right)}^3}} = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}} \ge 0\)
Ta thu được phương trình: \(6{t^3} - 5{t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\\t = - \frac{1}{2}(L)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(t = 1 \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0(VN)\)
+ Nếu \(t = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 19 = 0 \Leftrightarrow x = 5 \pm \sqrt 6 \)
Kết luận: \(x = 5 \pm \sqrt 6 \)