Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right):y = {2^x},\left( d \right):y = - x + a\) và trụ Oy

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right):y = {2^x},\left( d \right):y = - x + a\) và trụ Oy. Biết rằng (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi (H) khi nó quay quanh trục Ox.
A. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
B. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
C. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
D. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)

Theo đề bài ta có \({2^1} = - 1 + a \Rightarrow a = 3 \Rightarrow \left( d \right):y = - x + 3\).
Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (S1) được giới hạn bởi các đường (C), (d), Oy, Ox như hình bên quanh trục \({\rm{Ox}} \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x}} \right)}^2}dx + } \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {3 - x} \right)}^2}dx} \)
\( \Rightarrow {V_1} = \pi \left( {\frac{8}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\).
Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (d), Ox như hình bên quanh trục hoành.
Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {3 - x} \right)}^2}dx} = 9\pi \).
Khi đó \(V = {V_2} - {V_1} = \left( {\frac{{19}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)