Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị\(\sqrt {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}} ,\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\sqrt {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}} ,\) trục Ox, đường thẳng \(x = e\) quanh trục Ox. Biết \(V = \pi \left( {a\ln 2 + b} \right),\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a - b = 1.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 4.\)
C. \(a + 2b = 0.\)
D. \(ab = 2.\)

Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^e {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt \(t = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Vậy: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: \(a = 1;\,\,b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = 0\)