Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho \(OI = R\sqrt 3 \). Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn \((O;R)\) sao cho \(OA \bot OI\). Biết rằng tam giác \(SAI\) vuông cân tại S. Khi đó, diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón và thể tích \(V\) của khối nón là:
A. \({S_{xq}} = \pi {R^2}\sqrt 2 ;V = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\).
B. \({S_{xq}} = 2\pi {R^2};V = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}\).
C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{2};V = \frac{{\pi {R^3}}}{6}\).
D. \({S_{xq}} = \pi {R^2};V = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}\).
+ Xét tam giác \(AOI\) vuông tại O, có: \(I{A^2} = O{A^2} + O{I^2} = {R^2} + 3{R^2} = 4{R^2} \Rightarrow IA = 2R\)
+ Do tam giác \(SAI\) vuông cân tại S nên ta có: \(IA = SA\sqrt 2 \Rightarrow SA = \frac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }} = R\sqrt 2 \).
+ Xét tam giác \(SOA\) vuông tại O, ta có: $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {2{R^2} - {R^2}} = R$.
+ Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.R\sqrt 2 = \pi {R^2}\sqrt 2 \) (đvdt).
+ Thể tích của khối nón tương ứng là: \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {R^2}R = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\) (đvtt).
A. \({S_{xq}} = \pi {R^2}\sqrt 2 ;V = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\).
B. \({S_{xq}} = 2\pi {R^2};V = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}\).
C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{2};V = \frac{{\pi {R^3}}}{6}\).
D. \({S_{xq}} = \pi {R^2};V = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}\).
+ Xét tam giác \(AOI\) vuông tại O, có: \(I{A^2} = O{A^2} + O{I^2} = {R^2} + 3{R^2} = 4{R^2} \Rightarrow IA = 2R\)
+ Do tam giác \(SAI\) vuông cân tại S nên ta có: \(IA = SA\sqrt 2 \Rightarrow SA = \frac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }} = R\sqrt 2 \).
+ Xét tam giác \(SOA\) vuông tại O, ta có: $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {2{R^2} - {R^2}} = R$.
+ Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.R\sqrt 2 = \pi {R^2}\sqrt 2 \) (đvdt).
+ Thể tích của khối nón tương ứng là: \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {R^2}R = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\) (đvtt).