Toán 11 Hàm số lượng giác

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ.

Dạng toán 1: Tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp áp dụng
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

• Phương pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: D = {x ∈ R | f(x) có nghĩa}.
• Phương pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D = R \E.

Chú ý: Với các hàm số lượng giác chúng ta cần biết thêm:

1. Hàm số y = sinx xác định trên R và |sinx| ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số lẻ nên nếu có
sinx = sinα ⇔ x = α + 2kπ hoặc x = π - α + 2kπ, k ∈ Z.
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
sinx = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z; sinx = -1 ⇔ x = -$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.

2. Hàm số y = cosx xác định trên R và |cosx| ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số chẵn nên nếu có:
cosx = cosα ⇔ x = α + 2kπ hoặc x = -α + 2kπ, k ∈ Z.
cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ.
cosx = 1 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z; cosx = -1 ⇔ x = π + 2kπ, k ∈ Z.

3. Hàm số y = tanx xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z}.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.

4. Hàm số y = cotx xác định trên R \{kπ, k ∈ Z}.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.

Thí dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}$.
b. y = $\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}}$.
a. Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b. Điều kiện: 1 + cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + 2kπ, k ∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{π + 2kπ, k ∈ Z}.

Thí dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = $\sqrt {3 - \sin x} $.
b. y = $\frac{1}{{\sqrt {1 - \cos x} }}$.
a. Điều kiện: 3 - sinx ⇒ 0.
Vì |sinx| ≤ 1 nên 3 - sinx ⇒ 2 với mọi x.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R .
b. Điều kiện: 1 - cosx > 0 ⇔ cosx < 1 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ 2kπ, k ∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{2kπ, k ∈ Z}.

Thí dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = tan(2x + $\frac{\pi }{3}$).
b. y = cot(3x - $\frac{\pi }{4}$).
a. Điều kiện: 2x + $\frac{\pi }{3}$ ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{2}$, k ∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{$\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{2}$, k ∈ Z}.
b. Điều kiện: 3x - $\frac{\pi }{4}$ ≠ kπ ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{3}$, k ∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{$\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{3}$, k ∈ Z}.

Dạng toán 2: Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

Phương pháp thực hiện
1. Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1:
Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T$_0$ sao cho:
Với mọi x ∈ D, ta có: x - T$_0$ ∈ D và x + T$_0$ ∈ D (1)
f(x + T$_0$) = f(x) (2)
Bước 2: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn.

2. Chứng minh rằng T$_0$ là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T$_0$ là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng theo các bước:

• Bước 1: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T$_0$ thoả mãn tính chất (2): x∈D, f(x + T) = f(x) ⇔ ...⇒ mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T$_0$.
• Bước 2: Mâu thuẫn này chứng tỏ T$_0$ là số dương nhỏ nhất thoả mãn (2).
• Bước 3: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T$_0$.

3. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả:

• a. Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2π.

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì $\frac{{2\pi }}{a}$.

• b. Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì π.

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{a}$.

• c. Cùng với kết quả của định lý:

Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với $\frac{a}{b}$ ∈ \(\mathbb{Q}\). Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M.
Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung nhỏ nhất của a, b.

Thí dụ 1. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì π:
a. y = -sin$^2$x.
b. y = 3tan$^2$x + 1.
Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì π, ta đi chứng minh: f(x + kπ) = f(x) với k ∈ Z , x thuộc tập xác định của hàm số.
a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos(α + 2kπ) = cosα), ta có ngay: f(x + kπ) = -sin$^2$ (x + kπ) = -$\frac{1}{2}$[1 - cos(2x + 2kπ)] = -$\frac{1}{2}$(1 - cos2x) = -sin$^2$x = f(x) với mọi x.

b. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan(α + kπ) = tanα), ta có ngay:
f(x + kπ) = 3tan$^2$ (x + kπ) + 1 = 3tan$^2$x + 1 = f(x) với mọi x.

Thí dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(ωx + α), (A, ω và α là các hằng số; A và ω khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có: f(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) = f(x) với mọi x.
Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay: f(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) = A.sin[ω(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) + α] = A.sin(ωx + 2kπ + α) = A.sin(ωx + α) = f(x) với mọi x.

Thí dụ 3. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:
a. f(x) = tan(3x - $\frac{\pi }{6}$).
b. f(x) = 2cos2(2x + $\frac{\pi }{3}$).
a. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{\pi }{3}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) = 2cos$^2$ (2x + $\frac{\pi }{3}$) = 1 + cos(4x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì $\frac{{2\pi }}{4}$ = $\frac{\pi }{2}$.
Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đưa ra kết luận rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T = π".

Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

• Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D), ta thực hiện tiếp bước 2.
• Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà -x ∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định f(-x) , khi đó:

• Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
• Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
• Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Chú ý: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:

1. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
2. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn
3. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
4. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Thí dụ 1. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a. y = sinx - cosx.
b. y = sinx.cos$^2$x + tanx.
a. Hàm số xác định trên R là tập đối xứng.
Ta có: f(-x) = sin(-x) - cos(-x) = -sinx - cosx ≠ ± f(x).
Vậy, hàm số y = sinx - cosx không lẻ, không chẵn.

b. Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.
Ta có: f(-x) = sin(-x).cos$^2$(-x) + tan(-x) = -sinx.cos$^2$x - tanx = -(sinx.cos2x + tanx) = -f(x).
Vậy, hàm số y = sinx.cos$^2$x + tanx là hàm số lẻ.

Thí dụ 2. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a. y = cos (x - $\frac{\pi }{4}$).
b. y = tan$\left| x \right|$.
c. y = tanx - sin2x.
a. Hàm số xác định trên R là tập đối xứng.
Ta có: f(-x) = cos (-x - $\frac{\pi }{4}$) = cos (x + $\frac{\pi }{4}$) ≠ ± f(x).
Vậy, hàm số cos (x - $\frac{\pi }{4}$) không lẻ, không chẵn.

b. Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.
Ta có: f(-x) = tan|-x| = tan|x| = f(x).
Vậy, hàm số y = tan|x| là hàm số chẵn.

c. Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.
Ta có: f(-x) = tan(-x) - sin(-2x) = -tanx + sin2x = -(tanx - sin2x) = -f(x).
Vậy, hàm số y = tanx - sin2x là hàm số lẻ.

Dạng toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp thực hiện
Sử dụng các tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản.

Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a. y = 2cos(x + $\frac{\pi }{3}$) + 3.
b. y = $\sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} $ - 1.
c. y = 4sin$\sqrt x $.
a. Nhận xét rằng: |cos(x + $\frac{\pi }{3}$)| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ cos(x + $\frac{\pi }{3}$) ≤ 1 ⇔ -2 + 3 ≤ 2cos(x + $\frac{\pi }{3}$) + 3 ≤ 2 + 3 ⇔ 1 ≤ y ≤ 5
từ đó, suy ra y$_{Max}$ = 5 và y$_{Min}$ = 1.
b. Ta lần lượt có nhận xét: $\sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} $ ⇒ 0 ⇔ y = $\sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} $ - 1 ⇒ -1 ⇒ yMin = -1.
sin(x2) ⇒ -1 ⇔ -sin(x2) ≤ 1 ⇔ 1 - sin(x2) ≤ 2 ⇒ $\sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} $ ≤ $\sqrt 2 $
⇔ y = $\sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} $ - 1 ≤ $\sqrt 2 $ - 1 ⇒ yMax = $\sqrt 2 $ - 1.
c. Nhận xét rằng: |sin$\sqrt x $| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ sin$\sqrt x $ ≤ 1 ⇔ -4 ≤ y = 4sin$\sqrt x $ ≤ 4
từ đó, suy ra y$_{Max}$ = 4 và y$_{Min}$ = -4.

Dạng toán 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác

Phương pháp thực hiện
1. Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:
a. Hàm số y = sinx

• Đồng biến trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z.
• Nghịch biến trên khoảng ($\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{{3\pi }}{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z.

b. Hàm số y = cosx

• Đồng biến trên khoảng (-π + 2kπ, 2kπ) với k ∈ Z.
• Nghịch biến trên khoảng (2kπ, π + 2kπ) với k ∈ Z.

c. Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (-$\frac{\pi }{2}$ + kπ, $\frac{\pi }{2}$ + kπ) với k ∈ Z.
d. Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ, π + kπ) với k ∈ Z.

2. Với các hàm số lượng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa.

3. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản được tổng kết theo sơ đồ sau:

4. Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ thị hàm số y = f(x):
a. Đồ thị y = |f(x)| gồm:

• Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
• Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành.

b. Đồ thị y = f(|x|) gồm:

• Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
• Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

c. Để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai lược đồ sau :

• Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|.
• Từ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|.

d. Đồ thị hàm số y = |u(x)|.v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:

• Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) ⇒ 0.
• Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành.

e. Đường cong |y| = f(x) gồm:

• Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
• Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đường cong còn lại.

Thí Dụ 1. Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng:
J1 = (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$),
J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$),
J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$),
J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$).
Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).
a. Hàm số f(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:

Ta có nhận xét: J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$) = (-150π - $\frac{{2\pi }}{3}$; -150π - $\frac{\pi }{4}$)
mà trong khoảng (-$\frac{{2\pi }}{3}$; -$\frac{\pi }{4}$) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó, hàm số f(x) = cosx cũng đồng biến trên khoảng J4.
Ta có bảng

b. Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:

Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng:

Ta có nhận xét J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) = (8π - $\frac{\pi }{4}$; 8π + $\frac{\pi }{4}$)
mà trong khoảng (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) hàm số g(x) = tanx đồng biến. Do đó, hàm số g(x) = tanx cũng đồng biến trên khoảng J3 - Bảng tương tự như trên.

Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến của các hàm số dựa trên bảng ghi nhớ như sau:
a. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
Đ$_k$ = (-$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z và J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) ⊂ Đ$_0$ = (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$) (ứng với k = 0)⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J2.
J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) ⊂ Đ$_4$ = (-$\frac{{15\pi }}{2}$, $\frac{{17\pi }}{2}$) (ứng với k = 4)⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

b. Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đk = (-π + 2kπ, 2kπ) với k ∈ Z và J1 = (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$) ⊂ Đ1 = (π, 2π) (ứng với k = 1)
⇒ hàm số y = cosx đồng biến trên J1.
J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$) ⊂ Đ-75 = (-151π, -150π) (ứng với k = -75)⇒ hàm số y = cosx đồng biến trên J4.

c. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (-$\frac{\pi }{2}$ + kπ, $\frac{\pi }{2}$ + kπ) với k ∈ Z và J1 = (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$) ⊂ Đ2 = ($\frac{{3\pi }}{2}$, $\frac{{5\pi }}{2}$) (ứng với k = 2) ⇒ hàm số y = tanx đồng biến trên J1.
J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) ⊂ Đ0 = (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$) (ứng với k = 0) ⇒ hàm số y = tanx đồng biến trên J2.
J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) ⊂ Đ8 = (-$\frac{{15\pi }}{2}$, $\frac{{17\pi }}{2}$) (ứng với k = 8) ⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

Thí Dụ 2.
a. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số y = cosx + 2, y = cos(x - $\frac{\pi }{4}$) và vẽ đồ thị của các hàm số đó:
b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?
a. Ta lần lượt có: Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a).

Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Ox sang phải một đoạn $\frac{\pi }{4}$ ta được đồ thị hàm số y = cos(x - $\frac{\pi }{4}$), ta có hình vẽ b).
b. Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn.

Thí dụ 3. Xét hàm số y = f(x) = sinπx.
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x + m) = f(x) với mọi x.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1 ; 1].
c. Vẽ đồ thị hàm số đó.
a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin(α + 2kπ) = sinα), khi đó với m là số chẵn (m = 2k, k ∈ Z) ta có ngay:
f(x + m) = sinπ(x + 2k) = sin(πx + 2kπ) = sinπx = f(x) với mọi x.
b. Ta có bảng biến thiên như sau:

c. Đồ thị của hàm số y = sinπx được minh hoạ trong hình bên.

Thí dụ 4. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = $\frac{x}{3}$ với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng nhỏ hơn $\sqrt {10} $.
Từ hình vẽ, giả sử rằng:

• Đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại A1 và A2 thì OA1 = OA2.
• Đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ cắt hai đường thẳng y = 1 và y = -1 tại B1(3; 1) và B2(-3; -1) thì OB1 = OB2.

Khi đó, ta có ngay:
OA1 = OA2 < OB1 = $\sqrt {{3^2} + {1^2}} $ = $\sqrt {10} $, đpcm.

Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày như sau:
Giao điểm A(x$_0$; y$_0$) của đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ với đồ thị hàm số y = sinx có toạ độ thoả mãn: y$_0$ = sinx0 và y$_0$ = $\frac{{{x_0}}}{3}$ ⇒ x$_0$ = 3y$_0$ = 3sinx$_0$, từ đó, suy ra A(3sinx$_0$; sinx$_0$) và do đó: OA = $\sqrt {{{(3\sin {x_0})}^2} + {{(\sin {x_0})}^2}} $ = $\sqrt {10{{\sin }^2}{x_0}} $ = $\sqrt {10} $|sinx$_0$| < $\sqrt {10} $ bởi sinx$_0$ ≠ ± 1.